多元表征：让学生显性记录数学思考

张兵

摘  要：为了充分利用多元表征，让学生显性记录数学思考，在此背景下，笔者以苏教版小学数学中的整数计算教学为例，通过多重经验的挖掘、多元表征的续航、多项本质的深入、多维思辨的养成等方式，让多元表征在数学课堂上落地、开花、结果。

关键词：苏教版;多元表征;数学思考

多元表征是一种认知心理显性，一般是指借助多种表现形式，将要探究的知识以多种的认知方式展现，可以是心理的、主观的东西（内在表征），也可以是外在于人脑的、客观的东西（外在表征）。它的介入符合儿童的认知规律，可以使数学计算多角度展开，加深对数学本质的理解，通过链接、转移建构知识体系。在当前的小学数学计算教学中，多数教师是按照教程呈现的要求进行教学的，把多元表征和算理算法混淆，在平时教学中倾向于培养学生的书面符号表征能力，忽视了计算思维的培养。

基于教学现状，多元表征如何在平时的数学课堂上挖掘出它的价值，让教学既有学生的真实思考又能提高教学效率，笔者对苏教版教材中的计算内容做了实践和探究。

一、探尋思考，多重经验的挖掘

低段学生的多元表征主要以动作表征（操作）、形象表征（画图）、数字表征为主，继而为抽象的语言表征和符号表征累积经验。儿童的表征能力依赖于学习数学过程中经验的积累，表征既是数学的一部分，又是理解数学的手段。

如笔者在教学苏教版一年级上册第五单元“10的认识”一课时，这是学生首次接触计数单位和位置制原理，拓宽了学生从个位到十位的计数单位。在教学过程中，笔者引导学生寻找他们周围的“10”，有的学生找到了钟面上的数字10、10根手指、10本书、一支铅笔10厘米，等等，于是笔者引导学生梳理汽车上的10个人、钟面上的数字10、10根手指、10支彩色笔属于生活经验的实物表征，一支铅笔长10厘米、10>9、5<10属于用数量关系来表征数字“10”，半抽象的用点子图、计数器、算盘或者小棒等摆出“10”属于结构性表征，最后用抽象的数字“10”来表征。这个学习过程中将图示、数量、数序与数字有机联系起来，帮助学生了解了“十是一个计数单位，10个一是一个十”的数量关系，向学生展示了丰盈又完整的多元表征过程。

当然，数学的表征不是一节数学课就能教学和记忆的，需要教师在平时的数学教学中不只是为了追求教学结果，而应当引导学生思考“怎么想”， 让学生利用先前积累的数学经验帮助理解，从无到有，让学生在操作与摸索中，从“看得见”“摸得着”“说得出”“问得好”地由可视化向可思化发展，从而加强学生数学问题表征能力的培养，让他们感悟到原来数学就在我们身边，为可持续的表征发展走好起始步。

二、板块推进，多元表征的续航

多元表征是对数学结构和关系多元描述，详细地描述了学生的思考过程，也是详细地记录了教材中数学知识的建模过程。通过科学分析和个体观察，多元表征的确能够引起学生对数学学科探究的兴趣，促进孩子们数学计算思维力的形成。

如笔者在教学苏教版三年级上册第一单元“两、三位数乘一位数”一课时，出示了教材中的生活情境，全班学生都马上写出了算式12×3。在探究计算算理和计算方法的过程中，学生出现了不同的做法：有的学生是借助画图的方法把这个两位数乘一位数算式转变为连乘算式，这样其实就是把这道计算题转变成了已经学过的一位数乘一位数，即把12拆成4×3或者2×6，所以12×3=3×3×4或12×3=3×2×6;有的学生根据乘法的意义把这道计算题转变成了连加算式，即12×3=12+12+12;有的学生是把12拆成了整十数10和一位数2，利用3个10加3个2得到答案36;有的学生是把这道计算题写成竖式来计算。

又如笔者在教学苏教版三年级下册第一单元“两位数乘两位数”一课时，学生一开始正迁移了学习两位数乘一位数乘法的表征方式，但是由于数字变大他们又觉得这样计算起来不方便，开始寻找新的表征方式。当笔者通过具体情境出示算式24×12后，部分学生用画点子图来计算，马上就有学生反映这样画点子的方式太慢了，可以用画一个大正方形来代替。虽然点子图和大正方形的表征意图相同，但是学生在计算这道两位数乘两位数时正方形图就显得更加简单直观了。

从上面的表征方式来看，由于学生理解的起点不同，他们就会出现各种不同的表征方式，此时就需要教师组织学生展示自己不同的表征过程，引导学生从更宽广的视角来审视自己的解题过程，在共同学习中弥补自身认识上的不足，形成更加合理的计算表征方式。当然，随着学生年级的升级和知识经验的丰富，他们在解决新的数学问题时会创生新的表征方式，构建自己的数学学习过程。

三、资源活化，多项本质的深入

郑毓信教授指出：数学核心素养的真正内核所在是我们如何能够通过数学教学帮助学生思维，这并非是只想得更快一点，如何能够与众不同，而是我们应当逐步学会想得更清晰、更全面、更深刻、更合理。马立平博士在《小学数学的掌握与教学》中提出的“数学知识的深刻理解，即能够从深度、广度和完整度方面深刻理解”。计算教学重视算理、算法的多元表征，还需通过变式表征，去芜存菁将概念的内涵理解得更为深刻。

如笔者在教学苏教版四年级下册第三单元“三位数乘两位数”一课时，借助抽象的表征帮助学生完成算理和算法的迁移后，在独立作业环节我们可以设计这样的题目：不计算，你觉得324×21=972有可能正确吗？有的学生利用估算的表征方式说明如果把324看成300，把21看成20，所以324×21的结果大约是6000多;有的学生利用积的数位来判断三位数乘两位数的积肯定是四位数或五位数，所以这道题目的结果是三位数肯定是不对的;有的学生从个位上的数字来表征乘法算式的结果，因为个位上“一四得四”，所以最后结果的个位肯定是“4”。

又如笔者在教学苏教版三年级下册第一单元“两位数乘两位数”一课时，提供的选择题都是老师给予选项，让学生进行选择;课后练习时笔者转换思路，巧妙变式，让学生根据题意设计选项。如下：

下面的两位数乘两位数乘法算式中，哪一道題的结果大于2000，小于2500？（C）

A.___________    B.___________

C.___________    D.___________

通过改编题目的反向操作，这时学生的思考远比选择一个答案复杂得多，虽然题目中的各种表征载体、形式和心理活动不同，但是学生在思考和解决问题让人要基于各种表征的内容和本质，估大或是估小都得经过精心思量才行，反其道而行之，让教学更有意义。

四、精致结构，多维思辨的养成

在小学数学课堂上，小学生数学核心素养的发展依赖于教师教学理念的指引以及课程与评价方式的改革。教师在平时教学中渗透多元表征方式，改变学生对数学的关注点，更加关注过程，加强联系，注重方法，体现思想，实现表征教学的最大化成效。

如笔者在教学苏教版三年级上册第四单元“口算除法”的种子课时，我们可以充分挖掘表征特点，在算理和算法间游刃变化，让知识自主生长。笔者首先出示了女生的思考“因为15个十除以5等于3个十，所以……”让学生猜一猜她在做哪道口算，学生马上猜出是计算150÷5;再出示男生的思考“因为8除以4等于2，所以……”此时有的学生说是计算8÷4，有的学生说是计算80÷4，甚至还有学生说8后面可以有很多个0。在这个环节，主要让学生意识到相同的算法，但是表征方式可以不同。接着，笔者出示了一组有规律的口算除法题组，让学生在计算中发现被除数后面有几个0商后面就加几个0。此时笔者又利用这个发现，给学生一句乘法口诀如“三六十八”，引导学生写出一系列乘法和除法算式。在这个环节，我们在悟道中让学生把今天的知识与以前的知识沟通了，数学学习就会变得更简单了。

在这节课的教学设计中，笔者始终抓住多元表征的主线，在种子课沟通新旧知识的练习，不仅降低了知识的难度，还促成了学生的整体认知。

总之，多元表征在数学计算学习中的融入，既是一种数学学习的方法，也是在学习过程中数学素养发展的需求。多元表征对于小学生的数学发展是重要阶段，笔者以此作为切入点，多重介入，多元产出，多方联动，使数学教学立足当下，关注学情，生发创意，旨在成就数学学习的深度发生，在过程中养成持续发展的数学素养。