初探高中数学圆锥曲线问题中的等价转化思想

■河南省郑州市第十一中学1902班 李嘉豪

圆锥曲线属于解析几何部分内容,而解析几何的中心思想是借助笛卡儿直角坐标系,用代数的方法研究几何问题。因此,圆锥曲线问题看似是几何问题,本质上却是代数问题。经过大量的实践演练,笔者发现数学问题的解决就好比语言等价翻译的过程,将用文字语言描述的数学问题翻译为用数学语言表达的过程,再辅助结合我们的运算能力,便能将问题快速解决。在两种语言的翻译过程中,充分体现了等价转化的数学思想,而圆锥曲线问题则是考查我们数学等价转化能力的典型题目。下面笔者将结合典型例题进行说明。

例1(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0)。

(1)当l与x轴垂直时,求直线A M的方程;

(2)设O为坐标原点,证明:∠O M A=∠O M B。

思路分析:根据题设条件可以直接得到右焦点F的坐标。由于直线l为过点F的直线,首先需要考虑直线斜率存在还是不存在的问题。

若直线l的斜率不存在,则直接得到直线方程,进而求出点A、B两点的坐标。若直线l的斜率存在,由于已知直线上一点F的坐标,便可设直线的点斜式方程,引入参数,然后用参数k表示点A、B的坐标。至此,所有的未知量都最终归结为含有参数k的表达式,文字语言的翻译工作基本完成,接下来便是纯粹的计算问题。

(1)要求直线AM的方程,题目中已知点M的坐标,只需求出点A的坐标即可。此时直线l与x轴是垂直的关系,且已知点F的坐标,根据上面的分析,很容易得到点A坐标,求出直线AM的方程。

(2)要证明两个角相等,将这个几何问题转化为代数问题的衔接知识是三角函数。在圆锥曲线中,与角紧密相关的是直线的斜率,此时便很容易想到两个角的正切值。在直线倾斜角范围内,若两个角的正切值相等,则两个角相等,反之也成立。这样证明两角相等的问题便等价转化为证明两个角的正切值相等,也就是对应直线的斜率相等。要表示斜率离不开点的坐标。根据上面的分析可知,直线斜率不存在时,可以求出点的坐标,斜率存在时,可以用参数k表示点的坐标,于是可采用“设而不求”的方法证明等式成立。

解:(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1。

(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°。

当l与x轴垂直时,OM为A B的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB。

当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)。

从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补。所以∠OMA=∠OMB。

综上,∠OMA=∠OMB。

例2(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C:),四点P1(1,1),P2(0,1),中恰有三点在椭圆上。

(1)求C的方程。

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1,证明:l过定点。

思路分析:(1)根据题设条件三个点在椭圆C上,那么是哪三个点在椭圆上就显得非常重要。

根据椭圆图形的特征,结合判断点是否在椭圆上的方法,很容易得到点P2,P3,P4三个点在椭圆上。这样就很容易求出椭圆的方程。

(2)第二问涉及直线和椭圆的位置关系,离不开直线方程,此时首先要考虑的是直线斜率不存在的情况是否符合题设条件。当直线l斜率存在时,由于直线的已知信息较少,可以根据常规方法设直线的斜截式方程y=k x+m(m≠1),引入参数k,m,设点A、B坐标(尽管此时参数较多,但可以由题目中的条件寻找参数之间关系,消参,将问题转化到某一个参数上)。根据题设条件将直线与椭圆方程联立,利用韦达定理寻找两点坐标之间的关系,同时也找到了两点坐标与参数之间的关系,这样本来多个参数问题便归为两个参数k、m的问题。又直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1,利用各点的坐标得到等式,进一步消参,最终只剩下一个参数问题。至此,题目条件已经用完,此时回归问题,将参数之间关系代入直线方程便可得证。

解:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P4两点。

(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2。

如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|＜2,可得A,B的坐标分别为符合题设。

圆锥曲线问题是高中阶段学习的重中之重,尽管近些年难度有所降低,但所涉及的知识点繁多,覆盖范围广,对大部分同学来说还是一道坎。这就需要大家在掌握基本知识的基础上,能够对所学知识活学活用,能够将知识之间的关系进行等价转化,从而做到以不变应万变。