利用积分和式求极限的方法探索

摘 要：求极限值有若干方法，本文结合考研热点，介绍利用积分和式求某类数列极限的方法。

关键词：数列；极限；定积分；夹逼定理

研究生入学考试中，极限的求法是考查的热点问题。结合历届考研情况，总结一类关于“有n项相加或有n个因式的积的数列”的题型，利用以下定理来求解。

定理：设f（x）在[0，1]上连续，un=1n∑ni=1f（in），则limn→∞un=limn→∞1n∑ni=1f（in）=∫10f（x）dx。

证明：f（x）在[0，1]上连续，则f（x）在[0，1]上可积，取[0，1]等分分割T：

0<1n<2n<3n<…

limn→∞un=limn→∞1n∑ni=1f（in）=lim‖T‖→0∑ni=1f（ξi）Δxi=∫10f（x）dx。

例1 （天津大学）求极限limn→∞1nln1+1n1+2n…1+nn

解：设un=1nln1+1n1+2n…1+nn=1n∑ni=1ln1+in，令f（x）=ln（1+x），则f（x）在[0，1]上连续，于是limn→∞un=limn→∞1n∑ni=1ln1+in=∫10ln（1+x）dx=2ln2-1。

例2 求极限：limn→∞（nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2）= 。

解：原式=limn→∞1n（n2n2+1+n2n2+22+…+n2n2+n2）=limn→∞1n∑ni=111+in2=∫1011+x2dx=π4

例3 （2017年全國数学一10分）求极限limn→∞∑nk=1kn2ln1+kn。

解：设f（x）=xlnx，则f（x）在[0，1]上连续，

原式=limn→∞∑nk=11nln1+knkn=limn→∞1n∑nk=1knln1+kn=∫10xln（1+x）dx=ln2

例4 （北京大学1998）求：limn→∞sinπnn+1+sin2πnn+12+…+sinnπnn+1n。

解：设un=sinπnn+1+sin2πnn+12+…+sinnπnn+1n

则：un<1nsinπn+sin2πn+…+sinnπn=1n∑ni=1siniπn，

而limn→∞1n∑ni=1siniπn=∫10sinπxdx=2π

又un>1n+1sinπn+sin2πn+…+sinnπn=nn+11n∑ni=1siniπn

limn→∞nn+11n∑ni=1siniπn=∫10sinπxdx=2π

由夹逼定理知limn→∞sinπnn+1+sin2πnn+12+…+sinnπnn+1n=2π

综上，有n项相加或有n个因式的积的数列的极限，可以转化为积分和式，然后利用定积分求极限。有时不是积分和式，可以适当放大缩小转化为积分和式，再利用夹逼定理进行求解。

参考文献：

[1]李永乐，王式安，季文铎.考研数学复习全书[M].北京：国家行政学院出版社，2016.

[2]张华珍.用定积分法巧求数列极限[J]安徽文学，2006，12：77-78.

[3]全国硕士研究生入学考试辅导用书编审委员会.全国硕士研究生入学考试十年真题（数学一）[M].北京大学出版社，2009.

作者简介：

李青柏，云南省昭通市，昭通学院数学与统计学院。