数列是特殊的函数

摘 要：在高中数学教材中，《数列》一章蕴含的方程与函数、分类讨论、化归和转化、数形结合等常用的数学思想方法，在教材中得到了充分的展现和应用，而《数列》的学习，尤其要重视函数思想的应用，因为数列是特殊的函数。

关键词：数列;教材中的顺序;函数的观点;认识数列;特殊

一、  数列在教材中顺序的几番调整体现了编者的良苦用心

普通高中数学课程标准中，数列被调整到必修课程模块5中，但“对数学有兴趣，并且希望获得较高数学素养，希望在理工等方面发展的学生”，在选修系列4-3中，安排了“数列与差分”。数列在教材中顺序的反复调整体现了编者的良苦用心：①体现数列是一个特殊的函数;②“将函数思想贯穿高中数学课程的始终”，加深对函数概念的认识与理解。

二、  用函数的观点认识数列

（一） 强化数列定义中的函数观点

教材中数列的概念，先给出一个描述性的定义，在此基础上又给出一个在函数观点下的定义：“从函数的观点看，数列可看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”，该定义指明数列与函数之间的关系：数列是特殊的函数。加点文字是传统教材中所没有的，起到了突出强调的作用。关于数列的通项公式，教材中明确地提出：“数列的通项公式也就是相应函数的解析式”。

通过教材在章节顺序和内容体系上的调整，我们了解到，在数列的学习中，可以从函数的观点来理解数列中的有关问题。

例1 当n∈N且n≥2时，求证：1n+3+1n+4+…+12n+2≥1130。

分析：数学归纳法证明，步骤烦琐，还需证明12k+3+12k+4-1k+3>0 （k≥2且k∈N），对学生来说难度较大，如果利用数列的函数性证明，可以减少步骤的烦琐，降低解题难度。

解析：设f（n）=1n+3+1n+4+…+12n+2，则f（n+1）-f（n）=5n+9（2n+3）（2n+4）（n+3）>0

即f（n+1）>f（n），故{f（n）}是递增数列，所以当n∈N且n≥2时，有f（n）≥f（2）=1130。

例2 （2004年上海春季高考题）已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）图象在y轴上截距相等。（1）求a;（2）求f（x）+g（x）的单调递增区间;（3）若n为正整数，证明10f（n）·45g（n）<4。

解析：（1）a=1;（2）略

（3）法一：设Cn=10f（n）·45g（n）=10n-1·45n2+2n+1，不等式Cn+1-12lg0.8-32≈3.7，则n≥4，从而C1≤C2≤C3≤C4，而C4>C5>…，所以有

10f（n）·45g（n）≤10f（4）·45g（4）=103·4525≈3.78<4

法二：记h（x）=10x-1·45x2+2x+1（n≥1），则h′（x）=10x-1·

45x2+2x+1·ln10+2（x+1）ln45

令h′（x）>0，得x

（4.16，+∞）上递减。对n∈N+，h（n）=10f（n）·45g（n）=

10n-1·45n2+2n+1又∵h（4）=3.78，h（5）=3.25

∴h（n）max=h（4）<4，结论得证。

评析：法二借助于函数的单调性的判断结果，借力发功，巧妙地解决了数列的最大值，解题思路清晰简单，数列与函数较好地统一于一体。

（二） 注意等差数列与一次、二次函数的联系

由于等差数列的通项公式可以变形为an=dn+（a1-d），从变形式可以看出：当d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，所以等差数列的通项an的图象是均匀地分布在一条直线上的各点，根据两点确定一条直线，也就容易理解为什么已知等差数列的任意两项，可确定一个等差数列。

同样道理，等差数列前n项和公式可以变形为Sn=d2n2+a1-d2n，当d≠0时，Sn是关于n的常数项为0的二次函数，可以利用二次函数的观点和性质解决“求等差数列前n项的和”的有关问题，特别是求Sn的增减变化，最大（小）值问题时，更要联想到Sn的二次函数性。

例3 一个首项为正数的等差数列，前5项之和與前13项之和相等，那么这个数列的前多少项之和最大？

解：法一：由S5=S13得d=-217a1<0，由

an≥0

an+1≤0得8.5≤n≤9.5，则S9最大。

法二：由S5=S13，得∑13i=6ai=0，从而4（a9+a10）=0，则a9<0，a10>0，即S9最大。

法三：由S5=S13，得d=-217a1，则Sn=na1+n（n-1）2d=81-（n-9）217a1，即S9最大。

法四：由Sn=d2n2+a1-d2n，则Sn是关于n的二次函数，且开口向下，由S5=S13知Sn的对称轴是n=5+132=9，则S9最大。

评析：解法一虽然常规但运算量大，解法二技巧性强，解法三与解法四运用了函数的知识，思路清晰且运算量较少，尤其是解法四，展示了函数思想的巨大魅力。

（三） 注意等比数列与指数型函数的联系

在等比数列中，通项公式an=a1qn-1=a1qqn（a1≠0，q≠0），其前n项和Sn=a1（qn-1）q-1=a1q-1qn-a1q-1（q≠1），当q>0且q≠1时，an是关于n的指数型函数，Sn是关于n的y=mqn-m型的函数，因此，在解决等比数列的有关问题时，应注意结合指数函数的有关性质。

例4 首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，前2n项和为6560，且在前n项中数值最大的项是54，求此数列的首项a1和公比q。

解析：∵2Sn≠S2n，∴q≠1，由S2n÷Sn=82，∴qn=81代入Sn=80可得a1=q-1>0，從而q>1，∴an=a1qqn关于n单调递增，an=54，再结合Sn=80，便求项a1与q。

评析：这里确定an=54是关键，借助指数函数的单调性，难点轻而易举得以突破。

三、 数列是特殊的函数

前面我们阐述了数列与函数的联系，看到了二者高度的统一性，体验了函数的思想在数列学习中的重要性与指导性。但数列毕竟是特殊的函数，不能把数列问题完全函数化，二者还是有区别的。为了清楚地说明数列与函数的区别，下面我们详细分析一个例题：

例5 已知数列{an}的通项为an=n·an（0an+1对n∈N+均成立，求a的取值范围。

错解：记f（x）=x·ax（0an+1对n∈N+成立得，函数f（x）=x·ax在[1，+∞）上为减函数，则f′（x）=ax（1+xlna）≤0对n∈N+恒成立，即1+xlna≤0对n∈N+恒成立，从而lna≤-1x对n∈

N+恒成立，又-1xmin=-1则lna≤-1，得0

正解：an>an+1对n∈N+均成立即n·an>（n+1）·an+1对n∈N+恒成立，则a

评析：两种解法的结果相距甚远。但同样的思路，例2却殊途同归，事实上，在例2中已出现了不和谐的“音符”，解法一中n>3.7，解法二中n<4.16，只是由于n∈N+，将二者统一于n=4，但解题过程并未能掩饰住其取具体值时两者的差异。本例中，f（x）在[1，+∞）上为减函数只是an>an+1（n∈N+）恒成立的充分不必要条件，并不是等价条件，让我们详细分析：

先求f（x）的极大值点，令f′（x）=0得x=-1lna，当x∈-∞，-1lna时，f′（x）>0，

当x∈-1lna，+∞时，f′（x）<0，则x=-1lna是函数f（x）的极大值点，也是最大值点。

下面考查a∈1e，12时的情况：当a∈1e，12时，x=-1lna∈[1，2），则函数f（x）在区间1，-1lna上为增函数，在-1lna，+∞为减函数，没有做到f（x）在

[1，+∞）上是减函数，但f（1）=a，f（2）=2a2，由a∈1e，12，仍有a1>a2。

数列的学习离不开函数思想方法的指导，因为数列是特殊的函数;但也不能将自变量离散变化的数列完全等同于自变量连续变化的函数，数列毕竟是特殊的函数。

参考文献：

[1]人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学（必修）数学第一册（上）.人民教育出版社，2005（6）.

[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）.人民教育出版社，2003（4）.

作者简介：姚素杰，江西省南昌市，江西省南昌市第五中学。