提升学生思维能力的解题优化的实践思考

☉江苏省扬中市第二高级中学 蔡 飞

培养人的思维能力的数学教育往往能使人展现出丰富多彩且充满活力的创新意识，新课标在提高学生数学思维能力这一目标上的要求是比较高的，事实上，高考改革的命题趋势也为思维能力较强的学生创造出更多施展才能的空间，解题能力是高考中思维能力的重要体现，因此，教师在数学高考复习中应善于运用一题多法、多题共法、一题多变、一题多用、一题多联等多种手段来促进学生的思维提升，使学生能够在有意义的思维训练中获得思维灵活性、广阔性、严谨性、批判性等品质的不断发展.

一、一题多法促进思维灵活性的提升

例1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（-1，，动点D满足的最大值为______.

解法1：（联想三角函数的有界性）设动点D（3+cosθ，sinθ），则所以所以的最大值为

解法2：（联想圆的性质）设动点D（x，y），则由1，可得（x-3）2+y2=1，因此动点D的轨迹是以C（3，0）为圆心、1为半径的圆.而是点D（x，y）和点的距离，联想圆的性质可得

解法3：（联想三角不等式，当且仅当同向时取等号，因此的最大值为

解法4：（联想直线与圆的位置关系）设动点D（x，y），由可得则

解法5：（联想柯西不等式）令，联想柯西不等式可得，当且仅当时，等号成立，化简可得因此即的最大值为

当然，一题多法训练的最终目的并不是让学生掌握练习题的所有解法，教师应善于在一题多法的训练中帮助学生学会从不同角度、方法对题目进行审视和思考，引导学生进行多方位的思考并作出及时的调整，使学生能够在理顺知识之间纵横联系的同时获得求知欲的激发并展现出更加活跃的思维状态.

二、多题共法促进思维广阔性的提升

例2（1）设关于x的方程x2+2x+a=0在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围如何？

（2）设关于x的方程sin2x+2sinx+a=0有解，则实数a的取值范围如何？

（3）设关于x的不等式sin2x+2sinx+a＞0有解，则实数a的取值范围如何？

（4）设关于x的不等式sin2x+2sinx+a＞0恒成立，则实数a的取值范围如何？

例子中的（1）—（4）问虽然各以二次方程、三角方程、三角不等式的不同形式呈现在大家面前，但经过对比和分析之后不难发现，通过两个变量的相互关系寻找其中一个变量的取值范围这一本质特征是一样的，因此，上述的小题均能用“分离法”来解决.

第（4）问略解：

不等式sin2x+2sinx+a＞0恒成立与a＞-（sinx+1）2+1对x∈R恒成立是等价的.

令f（x）=-（sinx+1）2+1，则其最大值是1，因此实数a的取值范围为（1，+∞）.

多题共法训练应建立在学生具备了一定的类比、观察以及概括能力的基础之上，学生对数学基本解题技能与规律的掌握往往会在有效的多题共法训练中得到巩固和提升，很多学生会获得做一题而会一类的感悟以及求同思维的迅速发展，这对于学生思维的广阔性的培养是极具意义的.

三、一题多变促进思维严谨性的提升

例3已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：|ac+bd|≤1.

教师在此题的教学中首先可以启发学生运用比较法、分析法、综合法来进行证明，然后引导学生对证明过程进行反思并发现新的解法，在学生独立思考、合作交流的基础上再将柯西不等式、三角代换、向量法、复数法、几何法等进行共同的分析、归纳和探究，使例题在变形、推广的过程中获得更多的新题.

变式1：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：

变式2：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：|ac-bd|≤1；

变式3：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：

变式4：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=m，c2+d2=n，求证：

变式5：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，ab+cd=1，求证：ab-cd=0；

变式6： 已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，且a12+a22+a32=1，求证

变式7： 已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，且a12+a22+a32=2，，求证

变式8： 已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，且a12+a22+a32=m，，求证

将“原型题”作为素材并适当地改变条件或问题背景，使原问题在横向、纵向上得到拓展与延伸，能大大提升学生对问题的认识，辩证地分析、应用条件的过程就是学生思维严谨性大大提高的过程，教师在实际教学中应善于运用此类题目来进行一题多变的训练以帮助学生提高学习效率.

四、一题多用促进思维批判性的增强

例4设函数，证明（fx）在（0，1］上为减函数，在［1，+∞）上为增函数.

这是一道简单的证明题，此题中表现出“对勾”函数的单调性在求最值方面具有相当广泛的用途，这种函数的结论或方法在解决一类函数的最值问题中能够发挥很好的效果.

例5（1）已知|lga-lgb|≤1，求的最值.

解析：（1）由|lga-lgb|≤1可得则

由f（x）的 单 调 性 可 得即

利用基本不等式求最值是解决此类问题中常用的方法，不过一旦取“=”这一条件并不具备时，联想“对勾”函数的单调性来解题就是必须的了.

从不同的角度与知识点出发圆满地解决同一个数学问题，思维的广阔性与深刻性都在这一过程中得到了锻炼与发展.W