几何画板在高中数学教学中的应用

☉甘肃省高台县第一中学 段 会

几何画板是一种有效的教学软件，在几何画板中利用一些操作，能够将数学所需要的教学环境提供出来.因为它操作起来非常简单，所以教师只要把一定的技巧掌握了，就可以在短时间内把和课堂教学内容有关的教学课件制作出来，进而有助于学生更好的理解几何知识.在传统教学的过程中，高中教师在对几何进行教学的时候，通常会利用黑板画图来帮助他们教学，这会花费很多时间与精力，而且图形的效果也不太好.［1］在教学中将多媒体技术引进之后，能够利用Word和PPT等办公软件把相关图形粘贴出来，让学生进行学习，可是仍会有一些弊端的.出现了几何画板软件之后，教师就能够轻松地将平面解析几何图形、中垂线等画出来，进而让教学课件的质量更高.与此同时，几何画板还可以将动态图形创作出来，从而达到数学教学所需.教师能够利用几何画板软件，给学生把旋转、点线面的平移等动态变化过程展示出来，使几何知识中的图形问题能更直观地呈现出来.

一、几何画板在数学概念教学中的应用

数学概念是高中数学知识体系中的重点内容，也是非常枯燥的内容，在传统的教学模式下，由于教学形式比较单一，因此，很容易引发学生的学习乏味感.数学概念的教学过程却是一个曲折的过程，无法一步到位，这就要求教师要在学生“学”的出发点上，通过几何画板把概念自然而然的呈现出来，使学生在理解数学概念时能够花费更少的时间，从而有助于学生进行数学探究.

例如，“函数”不但是一个非常重要的概念，还是高中数学里重要的教学内容，与此同时还是在高中阶段对学生进行素质教育的一种主要素材.函数有两种表达方法——图像和解析式，通常情况下，这两者需要相互对比（如，对函数的单调性进行分析、讨论方程的解是什么等）.想要在处理与数形结合有关的问题上更加高效，在以前传统的函数教学中，大多数时候是教师用手工的方式来绘图，可是手工绘图往往比较耗费时间，无法精确绘制；相反几何画板就可以高效快捷地将教学所需的图形展示出来，能够解决这些缺点，进而提高了课堂教学效率和教学质量，从而得到更好的教学成效.

1.化静态为动态，避免概念教学的突兀性

在初中阶段里的三角函数不是动态的，学习的是直角三角形边与角的关系，利用边的比值把角的大小反映出来，并非是从函数的角度进行认识.想要把变量之间互相依存的关系找出来，就可以联想到任意角都是一个终边在反复的做圆周运动，几何图形里的圆就是它的基础.［2］

教学时，借助几何画板辅助教学能够有效地避免三角函数这一概念教学的突兀性.在利用终边上点的坐标将任意角的三角函数式表示出来时，可以把一个任意角（第一象限角）在直角坐标系上画出来，第一步，把这个角取为锐角，如此一来，就能够通过初中所学的概念得到数量（角度）和数量（边的比值）的变化关系，就能够在终边上把任一点P（xP，yP）取出来，并且能作出过点P与x轴垂直的直线.

2.化抽象为直观，揭示概念生成的过程性

通常来说，数学概念是很抽象的，如果可以把事物的具体形象作为出发点，便能够把抽象转变成直观，从而揭示概念生成的过程性.

例如，任意角的三角函数研究的就是一个实数集和另一个实数集相对应的关系，也就是一个通过角弧度数组成的集合到角终边和单位圆交点的坐标亦或者它的比值所组成的集合的相对应关系.当终边位于第一象限的时候，能够通过终边和单位圆的交点坐标包括它的比值将三角函数表示出来.要是终边落在了其他象限呢？就找不到直角三角形了，就无法通过边的比值去定义三角函数了，可是无论终边落在哪个象限里，终边上的点（和单位圆相交的点）始终存在.把终边在直角坐标系里的位置移动，要是α是锐角，这个定义和初中定义是一样的（把对边，邻边，斜边的所在指出来）；要是α并非锐角，还是可以把三角函数找出来（几何画板里显示三角函数的值和坐标的关系），由此可知，如果存在角，就一定存在终边，终边就一定和单位圆有它的交点P（xP，yP），进而就一定可以把三角函数值算出来.通过上述分析能够把任意角的三角函数定义出来.

二、几何画板在平面几何教学中的应用

平面几何是高中数学教学中的重要内容之一，借助几何画板能够有效地对平面几何的教学进行优化，进而促进学生的高效化学习.［3］

1.借助几何画板呈现点的轨迹

在平面几何问题中，求解点的轨迹便是其主要的解题内容，求解点的轨迹主要有以下几个步骤：第一步，通过已知条件，将直角坐标系构建出来；第二步，在轨迹上任取一点，把这个点的坐标设出来；第三步，把有关的恒等式列出来；第四步，对恒等式进行化解，把问题要求的轨迹方程求出来.学生通常对平面曲线转化为数的这类数学题的理解感到困难，若利用了几何画板，则可将这个问题很好的解决了.

例如，一位教师在对“求抛物线标准方程”这一内容进行教学时，就利用几何画板将定直线上的定点找出来并移动它们，同时对定点和点在运动过程中画出来的轨迹（即问题里要求的抛物线）进行追踪.此时，引导学生对抛物线上的定点这个特殊点进行分析，进而成功构建出直角坐标系，并把相应的对称轴找到，再利用抛物线的数学定理将抛物线的标准方程求出来.

这样的教学不但有利于学生灵活地把握知识发展的每个环节，还可以使学生的学习热情变得更高，分析能力变得更强，从而培养出他们的解题能力和数学素养.要想把几何画板在平面几何教学里的价值充分发挥出来，教师就必须反复研究、不断探索几何画板，并在这个过程中，掌握几何画板的特点，把几何画板的优势最大化，以此来不断完善它的功能.

2.借助几何画板呈现点的曲线方程

通过已知条件，将合适的坐标系选出来，利用数和形之间的相互对应关系，把表示平面曲线的方程求出来是平面解析几何的方法和基本理念.因为在曲线里，不同几何量会被很多因素直接影响进而发生一系列的变化，让点与线按照各自不同的方法来运动.曲线和方程互相对应的关系是比较抽象的，学生在学习时，会觉得理解和掌握起来很困难.因此，在对解析几何进行教学时，极为重要的一点是要把几何图形自身的变形和运动轨迹的所有过程体现出来.在对解析几何进行教学时就可以利用几何画板强大的图形图像性能和运算性能.如它能够将不同形式的方程运算出来；能够及时跟进动态的对象，还可以把这个对象的“轨迹”呈现出来.

例如，一位教师在对“椭圆定义”进行教学时，第一步把线段AB的长确定成一个“定值”，在它上面将点E取出来，第二步分别作出以F1为圆心、AE的长为半径和以F2为圆心、AE的长为半径的圆，这两个圆的交点轨迹则可以满足规定.教师可以先让学生猜一猜这个图形是什么，等到学生都将自己的见解发表完以后，再把图形展示出来，学生就可以明白这个图形是椭圆.利用推导进行学习，不但可以让学生掌握与椭圆相关的知识点，还能够对学生的创新思维进行拓宽，从而增强学生的创新能力.

三、几何画板在立体几何教学中的应用

高中数学教学的一个重要内容是立体几何，可是立体几何很抽象，在对立体几何进行讲解的过程中，利用几何画板展示一部分点使平面里的三维空间图形做对应的旋转运动.通过几何画板，可以把抽象的立体几何知识直观化，使学生从各种角度来观察图像里的每个元素的位置之间的关系和度量之间的关系，学生会因此掌握正确的知识，把三维空间图像理解的更深，从而使学生的立体感更强.在往后的学习过程中，学生可以通过这个办法有效地解决立体几何问题.

例如，在对正方体进行绘制时，可以通过几何画板旋转与翻转正方体，利用这一个过程，把直观性的视觉图形呈现给学生，学生也可以更直观地进行观察，这样能够帮助学生在解决平面问题时运用自己看到的图形，从而使学生很容易的在平面上把三维图形绘制出来.再如，在对“三棱锥体积求解”进行教学时，要分割三棱柱，接着把三棱锥的体积求出来.通过几何画板用不一样的颜色来表示三棱柱的分割面，利用运动分割好的三棱锥，直观地呈现给学生较为抽象的分割过程.如此一来，就会让一部分想象力不足的学生很好的理解分割过程，帮助学生掌握可以利用对几何体进行分割来求出体积这一方法.

总而言之，几何画板操作起来简单且实用，在高中数学教学的过程中运用几何画板可以有利于学生更好的理解数学函数和几何图形的内在关系，使数学学习的效率更高.通过几何画板，可以让课堂教学生动形象化，学生就会对学习活动感兴趣.［4］所以，在对立体几何知识和函数等一些数学知识进行讲解时，教师要擅长使用几何画板，以此来帮助学生深入理解数学知识，让学习数学的质量变得更高.