立体几何中空间想象能力的培养途径

☉山东省邹平市第一中学 牛传勇

直观想象指的是依据空间想象来对事物的变化进行感知，依据几何图形的特点来解决数学难题.主要包含对解决问题思路的疏导、利用图形描述数学问题、发现数与形之间的关系等，通过这些能够对事物的发展规律以及本质有更深层次的理解.本文主要研究如何在实际生活中对学生的空间想象能力进行培养，通过对已经研究的文献进行整理，主要概括为以下几点.

一、让学生对空间几何图形进行观察，同时动手制作模型；通过学生的观察以及实际感知，让学生的空间观念得到提升，从而让学生掌握空间图形的能力得到有效的提升.

1.让学生对简单的几何图形进行掌握，同时注意让学生能够用图形来表达数学问题，数学的基点是对问题的分析以及解决.在学习立体几何的内容体系时，对几何图形的简单认识是在必修二教材中对于“立体几何初步”的学习.在实际生活当中，学生已经对生活中常见的几何图形有了一定的了解，但是还缺乏对相关几何知识的系统学习.因此在实际教学过程中要注意让学生对实际的几何模型进行观察，同时让学生对实际的几何图形进行分类、概括以及归纳.从而可以认识到锥体、柱体以及台体的主要特点，在这个基础上了解到几何图形的简单特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

案例1：教师先让学生自行预习人教版高中数学必修2中第一章1.1“空间几何体”的有关知识，再进行以下思考：

（1）图1是由图2中的哪一个图形旋转得到的？

图1

图2

（2）棱台与棱柱、棱锥有什么区别及联系？圆台、圆柱与圆锥又有什么区别及联系？

（3）三棱锥有几条棱、几个顶点、几个面？

随后教师要让学生们一一作答，并让其余同学纠正错误，引导学生相互交流，进一步加深对概念的理解，从而使抽象的定义逐步转化为直观想象的几何体.

2.让学生自己动手进行几何模型的制作，这一过程不仅能够使学生的动手操作能力得到提升，还能够使学生的空间想象能力得到发展.在进行模型制作的过程中，首先需要对模型的空间结构有一个清楚的了解，其次，要明白进行模型制作的流程以及过程，包括材料的选择、流程的顺序等等.对于一些比较复杂的模型，需要学生们进行合作才能按时完成，这样能够培养学生的合作协调能力，增强学生的学习热情以及学习兴趣，同时能够使学生的空间想象能力得到很好的提升.

二、培养学生的数形结合意识，加强学生在“交流、观察以及思考”等方面的能力.通过让学生对问题的思辨论证，使学生的语言能力以及逻辑推理能力得到提升.

1.让学生注重对事物进行观察，来学习相关的基本的几何知识，了解空间图形的关系，对于学生理解直线之间的垂直以及平行关系有很大的帮助.空间图形主要是由点、线以及面构成的，因此，了解这些图形之间的位置关系，能够帮助我们更好的认识空间图形.

案例2：“空间图形的公理”的教学设计.教师在上课之前先让学生对教材内容进行熟悉，然后提出以下问题：（1）梯形、三角形以及圆都是平面图形吗？理由是什么呢？（2）四边形一定是平面图形吗？（3）公理2能够体现出平面的哪些特征？将长方体中的线以及面当做载体，能够让学生更加清楚的了解到空间几何关系，体会到空间中点、线、以及面的关系.加强学生从实际图形来认识理论知识的能力，在进行推理的过程中使学生的直观想象能力得到锻炼.其次，让学生能够正确的运用图形语言、自然语言以及符号语言来进行图形位置关系之间的描述.

2.引导学生能够正确的运用周围的物品进行学习.学生在学习立体几何的过程中，需要认真的思考并分析图形的动态过程，并对图形变换的过程进行演示，这是提高学生空间想象能力的很好的方法.比如，在对异面直线的概念进行掌握的过程中，可以让学生尝试使用两支笔作为直线，然后变换两支笔之间的位置，进行位置关系之间的演示.学生通过这一过程能够发现在两条直线的关系中，不仅有“相交”“平行”，还存在既不相交也不平行的位置关系，这样就将“异面直线”的概念传授给学生.

在进行异面直线所成角的相关内容的学习时，教师可以采用粉笔来进行演示，将其中的一根粉笔进行旋转，但是始终保持异面状态，让学生注意在这一过程中直线的位置关系会发生怎样的变化.思考如何对这一变化进行刻画？再如，在进行面面垂直关系的界定时，教师可以向学生提出这样的问题：（1）工人师傅怎样保证建造的墙与水平面相垂直？（2）将你的课本展开一定的角度，使其能够树立在桌面上，那么课本中的每一页与桌面是什么关系？

在进行课堂教学的过程中，由于受到学生自身认知方面的限制，需要采用灵活的教学方法，运用实物进行展示可以将抽象的空间几何表现为具体的图形，让学生对于抽象的数学知识能够形成更加深刻的理解.

3.对特殊模型进行运用.利用特例进行反例的构造，对学生的推理能力加以重视，能够帮助学生增强分析问题、解决问题以及思考问题的能力.

如在研究“三个角都是直角的四边形一定是矩形吗？”这一问题时，若学生仅靠推理很难推翻，因此就要借助特殊模型来解题.如图3，引导学生构造长方体模型，然后在模型中取顶点构造空间四边形就很容易判别出四边形ABCD并不是矩形.

图3

4.加强对垂直关系以及平行关系的教学，让学生的逻辑推理能力得到足够的发展.

线与线以及面与面之间最基本的关系就是平行关系以及垂直关系，之后更加复杂的位置关系的刻画就是基于平行以及垂直关系的基础进行的.

（1）对空间垂直关系以及平行关系的概念进行关注.在进行实际教学的过程中，常常发现一些学生将概念定义与判定定理混在一起.事实上，定义可以看做是对性质的解读.垂直以及平行关系的定义能够体现出其特征以及实质.在进行几何学习时，通常用空集或者交集对平行关系进行定义，用角的度数对垂直关系进行定义.

（2）借助模型以及对模型的观察，对空间关系进行更深一步的认识，进一步完善学生的空间观念.让学生通过对模型的观察，了解点、线、面之间的位置关系，对平行以及垂直的定义进行更深一步的理解，将抽象的概念转化成具体的模型关系；通过学生自身的感知以及想象形成空间感，有助于学生空间想象能力的形成，同时还有助于培养学生的空间感知能力.

例如图4，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点.

（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；

（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值.

图4

例题答案：

证明：（Ⅰ）连接DP，CQ，在△ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，所以，所以PQ∥DC.又PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，所以PQ∥平面ACD.

图5

（Ⅱ）在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，所以CQ⊥AB.

而DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC.

而EB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC.所以CQ⊥平面ABE.

由（Ⅰ）知，四边形DCQP是平行四边形，

所以DP∥CQ.

所以DP⊥平面ABE.

所以直线AD在平面ABE内的射影是AP.

所以直线AD与平面ABE所成的角是∠DAP.

在Rt△APD中DP=CQ=2sin∠CAQ=1，

当前阶段学生应当具备的基本数学素养包括熟练的掌握空间图形以及拥有良好的空间想象能力.对于这些能力的锻炼以及培养需要一个较长的过程，这个过程是曲折、漫长的.在这一过程中，学生必须加强自身各方面能力的培养，时刻进行学习以及反思，同时注意对模型的运用，增强自身的思辨能力以及逻辑推理能力，使自身的空间想象能力能够得到有效的提升.