转化与化归思想的妙用

☉河南省固始慈济高中 陈建启

☉河南省固始慈济高中 李晓艳

转化与化归思想作为一种最基本的数学思想方法，已在数学学习中得到了普遍应用，其精髓在于利用化繁为简、化难为易、化未知为已知等方法，将尚未解决的问题通过转化，归结为一个已为人们所熟知的具有既定方法或程序的问题，最终使问题得到解决的一种思想方法.

在日常的教学中，很多老师会发现学生都能听懂老师所讲的内容，但在自己做题时却总是没有思路或者没有很合适的方法，究其原因，主要是因为同学们在做题时不能很好地应用转化与化归思想，不会把题目中的问题转化为我们已知的、熟悉的、简单的问题.下面我们通过几个例子来谈谈“转化与化归思想”的妙用.

例1已知x+y+z=10，x，y，z∈N，则该方程有多少组解？

解析：本题可用分类讨论思想来处理，但情况太多，讨论起来太麻烦，也容易出错，如果我们使用转化与化归思想，把题目转化成下面一个我们熟悉的问题来处理就方便多了.

假设有10个相同的小球，现将其放入3个不同的盒子中，共有多少种放法？

解析：如果将10个小球分为3组，则需要用2个隔板将其隔开，现将2个隔板和10个小球合在一起共有12个元素，需要12个位置，从这12个位置中选2个位置放上隔板，就可以把10个小球分为3组了，故有种放法.

所以，通过转化可得，原方程共有66组解.

注：排列组合中的很多问题都可以用转化与化归思想来解决，把问题转化为我们熟悉的模型，如：相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊元素优先法、分排排列直排法、分组分类问题先分组再分类等，我们只要记住一个例子，举一反三，就可以解决一类问题.

例2判断下面说法是否正确，并说明理由：

定义在R上的函数f（x），其图像是连续不断的，如果f（x+2）=2f（x），则y=f（x）至少有一个零点.

解析：该说法错误，但在教学中发现很多同学认为没有函数解析式，无从下手，判断不出来.如果我们换一个角度思考，要想说明一个问题是错误的，只需要能举出反例即可，那么怎么举反例呢？

我们注意观察式子f（x+2）=2f（x），看着很熟悉，类似于数列中的递推关系式an+2=2an.符合等比数列的特征，不妨取，则，转化为函数该函数满足f（x+2）=2f（x）.我们知道，此函数无零点，因此题中说法错误.

注：关于抽象函数的判断对错问题，我们可以通过构造函数，举例验证来解决，例如涉及周期性和对称性的问题，我们经常类比三角函数，符合f（x+y）=f（x）+f（y）可以类比指数函数，符合f（xy）=f（x）+f（y）可以类比对数函数，这样转化往往可以快速解决问题.

例3求的最小值.

解析：此题使用常规的方法无法求解，通过转化可以类比两点间距离公式来做.

因为AB和x轴有交点，所以P为AB和x轴的交点时有最小值，

注：很多代数问题可以转化为几何问题，然后利用数形结合思想来解决，借助图形看起来也更直观易懂.常见的有两个含有根式的和的问题可以转化为两点间的距离的形式可以转化为直线的斜率问题；给出一个不等式组求另一个式子的范围，可以转化为线性规划问题等等.

转化与化归思想已渗透到数学的各个章节，并且起到桥梁的作用，使深不可测的数学知识“规律化”.同学们只要善于利用转化思想，善于总结规律，就能做到触类旁通，举一反三，更好地解决那些看似复杂的问题，以达到事半功倍的效果.F