专题引领 提升素养 打造数学复习课新常态——高三微专题复习课“用导数研究切线问题”

☉四川省南充龙门中学 蒋 敏

高三数学复习时间紧，知识容量大，课堂沉闷无趣，使很多学生感到枯燥乏味，无所适从！教师更是感到事倍功半，力不从心！如何提高学生在高三复习课上的学习兴趣和学习效率？一直是困扰着教师的难题.如何结合高中数学的学科特点，打造高三数学复习课的高效课堂操作模式呢？

专题模块复习法，即“微专题”复习法应运而生！它是指授课教师根据学情需要选取一个微型专题，从其涉及到的相关数学知识，基本原理和知识背景作为切入点，通过归类整合、精选例题、强化变式，使知识运用提档升级，螺旋上升，达到突出重点、突破难点，纠正疑点的目的.在高三数学复习的过程中，微专题复习是被经常采用的以小博大、见微知著的高效手段！下面以“用导数研究切线问题”为例，再现曲切联袂的精彩演绎！

一、基本知识回顾

1.导数的几何意义

函数y=f（x）在点P（x0，y0）处的导数f′（x0），表示函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率，导数f′（x0）的几何意义就是函数y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，其切线方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）.

2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤

求已知曲线在某点处的切线方程，是考查导数的几何意义的常见模式，有时题目未给出切点信息，只提到切线经过某点，此时往往需要先设出切点，以切点的横坐标为未知量，进行恰当反解.

①求出函数y=f（x）在切点P（x0，y0）处的导数；

②根据切点和斜率，求出切线方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）.特别地，当曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线垂直于x轴时（此时切线斜率不存在，即导数不存在），切线方程为x=x0.

当切点坐标不明确时，就应先设出切点坐标，再用直接法列式求解.

二、微专题复习的几个视角

1.求“在曲线上某一点处”的切线方程，意味着该点为切点

例1（2018年全国卷Ⅰ，文6理5）设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）.

解析：因为f（x）=x3+（a-1）x2+ax为奇函数，所以a-1=0，即a=1，此时f（x）=x3+x，所以f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为k=f′（0）=1，因此切线方程为y=x.

故选D.

评注：从函数的奇偶性入手，通过对函数解析式的结构再审视，可以得出偶次项系数为0，从而求出参数a的值.求在点（0，0）处的切线，暗示着（0，0）为切点，按部就班即可得出切线方程.

变式：已知函数y=f（x）的图像在点M（1，f（1））处的切线方程是x-2y+6=0，那么f（1）+f′（1）=______.

解析：点M（1，（f1））满足x-2y+6=0得，而f（′1）是切线的斜率，即，所以（f1）+f（′1）=4.

2.求“过某一点”与曲线相切的切线方程

例2已知函数（fx）=x2，求经过点且与曲线f（x）相切的直线l的方程.

解析：设切点P（x0，y0），f（′x0）=2x0，过点的切线l的方程是

因为切点在切线l上，则

又切点在函数f（x）=x2图像上，则

联立（1）（2）解得x0=2或x0=3.

当x0=2时，切线方程是：4x-y-4=0；当x0=3时，切线方程是6x-y-9=0.综上所述，所求切线方程是4x-y-4=0或6x-y-9=0.评注：对于曲线y=f（x）上“过”点（m，n）的切线问题，一般的解题步骤为：

①先设切点为（x0，y0），利用点（m，n）和导数，写出切线的点斜式方程y-n=f′（x0）（x-m）；

变式：已知曲线曲线过点（2，4）的切线方程为______.

解析：设切点为M（x0，y0），切线的斜率为k=y′|x=x0=x02，

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

3.求曲线上“任意一点处”的切线倾斜角（或斜率）的取值范围

例3设点P是曲线上的任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围为______.

解析：求导可得，于是切线的斜率所以切线的倾斜角α的取值范围是

评注：函数在某点处的导数，就是以该点为切点的切线斜率，而斜率等于倾斜角的正切，因此求倾斜角的范围，则需要求出导数的取值范围，但不能仅仅看斜率的正负符号，就简单机械地得出倾斜角的范围，正负符号问题，仅仅是判断角所在的象限.具体范围要结合斜率和倾斜角变化的对应情况来做出判断.

变式：已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是______.

解析：

4.求过一点与曲线相切的直线的条数

例4已知函数f（x）=2x3-3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围.

解析：设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则y0=2x03-3x0，且切线的斜率为k=6x02-3，故切线方程为y-t=（6x02-3）（x-1），因此y0-t=（6x02-3）（x0-1），整理得4x03-6x02+t+3=0.

设g（x）=4x3-6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”等价于“方程g（x）=0有3个不同的根”.令g′（x）=0，得x2-x=0，解得两极值点x1=0，x2=1，

因此要使g（x）=0有3个不同的根，需满足g（0）g（1）=（t+3）（t+1）<0，即-3

评注：一般地，直线和曲线相切，不同的切点对应着不同的切线.于是，判断切线的条数，也就是判断切点的个数，即判断关于x0的方程的根的个数.

变式：已知曲线C：y=x4-2x2及点M（1，-1），则过点M向曲线C可引切线的条数为______.

解析：设切点（x0，y0），满足，解得或1，因此曲线C的切点有三个，而当切点为（-1，-1）和M（1，-1）时，切线斜率都为0，是同一条切线，因此过点M向曲线C可引切线的条数为2.

三、结束语

微专题教学法的运用，可以弥补常规教学的局限，从而实现高效的课堂教学.在复习基础知识的同时，帮助学生完善知识结构体系，对重点知识进行“编码”“再加工”，进而夯实解决问题的能力，提升数学学科核心素养.

微专题探究，四两拨千斤！“微”只是表现形式，“专”才是其核心本质.在高三数学复习课中，采取灵活多变、高效可行的微专题形式，对于学生回顾基础知识，强化专题探究，提升学科核心素养，有着积极的重要作用.在数学高考复习中，学生是主力军，教师是领航人，课堂是主阵地.作为教师，要善于引导学生利用微专题进行复习，打造数学复习课的新常态，从而把握教学规律，达到事半功倍的效果，引领学生解一题、会一类、通一片.F