对一道双变元模拟试题的多解探究

☉湖南省永州市第四中学 刘申奥

在近几年的高考题与模拟题中，经常会碰到求解双变元或多变元的代数式的最值或取值范围问题.此类问题往往难度较大，思维方式多变，方法有时也多样.而当我们解完一道题以后，要不断领悟反思，从多角度切入进行深度挖掘，从而达到触类旁通、一题多解的效果.下面结合一道双变元代数式的取值范围试题来加以实例剖析，结合多角度切入，达到殊途同归的效果.

题目已知实数a，b满足a2-ab+b2=2，则a2+ab+b2的取值范围是________.

已知双变元代数式的定值条件，如何通过这个已知条件巧妙转化或应用来处理所要求解的双变元代数式的取值范围问题，可以利用不同的思维方法来处理，巧妙转化，方便解决.

引入参数t=a2+ab+b2，结合条件a2-ab+b2=2得到ab=，利用根与系数的关系将实数a，b转化为关于x的方程的两个根，通过判别式的确定得到t≤6，进而得以确定6，从而得以求解.

解法1：设，结合可得

又由a2-ab+b2=（a+b）2-3ab=2，

则知实数a，b是关于x的方程的两个根，

引入参数t=a2+ab+b2，结合条件a2-ab+b2=2得到t（a2-ab+b2）=2（a2+ab+b2），进而转化为关于a的二次方程（t-2）a2-（t+2）ab+（t-2）b2=0，利用判别式来求解含t的二次不等式，得到，从而得以求解.

解法2：设t=a2+ab+b2，结合a2-ab+b2=2可得t（a2-ab+b2）=2（a2+ab+b2），

整理可得（t-2）a2-（t+2）ab+（t-2）b2=0，

由判别式△=（t+2）2b2-4（t-2）2b2≥0，

整理可得△=（t+2）2-4（t-2）2≥0，

结合条件a2-ab+b2=2，通过构造恒等式把a2+ab+b2转化为a2-ab+b2与（a+b）2及（a-b）2的线性关系，并利用不等式的性质来分别确定相应的最小值与最大值，进而得到a2+ab+b2的取值范围.

解法3：由于a2-ab+b2=2，

又a2+ab+b2=3（a2-ab+b2）-2（a-b）2≤3（a2-ab+b2）=6，当且仅当a=b时等号成立.

结合条件a2-ab+b2=2，通过转化，引入参数，结合分类讨论思想，在t≠0时构造齐次式，把a2+ab+b2转化为含t的齐次式，利用对勾函数的取值范围，进而综合得到a2+ab+b2的取值范围.

解法4：由于a2-ab+b2=2，则

当t≠0时，则有

结合条件a2-ab+b2=2，通过转化得到a2+b2=2+ab，利用基本不等式得到a2+b2≥2|ab|，转化为不等式2+ab≥2|ab|，通过对不等式两边平方来求解含有ab的二次不等式，并利用已知条件的转化得到a2+ab+b2=2+2ab，进而得以确定a2+ab+b2的取值范围.

解法5：由a2-ab+b2=2可得a2+b2=2+ab.

因为a2+b2≥2|ab|，所以2+ab≥2|ab|，

两边平方整理可得3a2b2-4ab-4≤0，

由于a2-ab+b2=2，则

即a2+ab+b2的取值范围是

通过对已知关系式a2-ab+b2=2进行配方处理得，进而结合三角换元法进行换元，得到代入关系式a2+ab+b2，利用三角恒等变换转化为正弦型函数，并利用三角函数的图像与性质来确定相应的最值，从而确定a2+ab+b2的取值范围.

解法6：由于a2-ab+b2=2，配方可得

故a2+ab+b2的取值范围是

根据线性关系b=ka进行转化，结合条件a2-ab+b2=2，把对应的双变元代数式t=a2+ab+b2转化为含有参数k的分式问题，然后将其巧妙地转化为相应的二次方程问题，利用方程有解所对应的判别式应满足的不等式来确定参数t的取值范围，进而确定a2+ab+b2的取值范围.

解法7：设b=ka，代入a2-ab+b2=2，整理可得a2=

整理可得（t-2）k2-（t+2）k+（t-2）=0，

由判别式△=（t+2）2-4（t-2）2≥0，

通过以上多种方法求解双变元代数式的取值范围问题，使我们感受到，切入点不同，破解策略多种多样.其实，妙解相应的双变元代数式的最值或取值范围问题，巧妙的思维方法值得学习，更值得掌握.在具体求解此类问题的过程中，要学会灵活变通，巧妙应用.W