不同版本数学教科书习题设计比较研究*——以“几何概型”一节中的习题为例

☉西北师范大学教育学院 张定强

☉甘肃省兰州市第二中学 牛睿芳

☉厦门双十中学海沧附属学校 马 贺

一、引言

数学教科书的一个重要组成部分是习题，承载着夯实和深化新知、扩充与拓展新知、综合应用知识、领会数学思想方法、诊断学情与反馈补救等方面的育人功能.数学习题是数学教学实践活动过程中不可或缺的组织形式，对学生的数学学业来说，研究教科书习题、课堂教学等是直接的、具体的、极有参考价值的.不同版本的数学教科书在习题数量、水平、特点及侧重点上存在差异，它们从不同角度反映了作者的编写意图、特点和倾向，了解不同版本教科书习题的异同有利于在教学实践中取长补短，优化学生的数学思维品质，提高学生的数学关键能力.由此可见，数学习题对数学教学有着不可忽视的影响.

统计与概率是高中数学学习的内容之一，本文选取概率中的“几何概型”习题（含练习题）为研究对象，分别从习题数量、类型及难度三个维度对其进行比较研究，以求探析其特点，发挥其数学教育教学的价值.

二、研究设计

（一）研究对象及方法

研究共选取5版教科书“几何概型”中的习题进行比较分析，这5版教科书分别是人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书·数学》A版和B版（简称“人教A版”与“人教B版”），北京师范大学出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书·数学》（简称“北师大版”），江苏教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书·数学》（简称“苏教版”），以及湖南教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书·数学》（简称“湘教版”）.采取定量刻画与定性描述相结合的方法对其习题进行比较研究.

（二）研究内容

1.习题数量.统计各版本教科书在“几何概型”一节中习题数量有多少，其统计标准为：若题目中有多次提问，则按一题计；大题中若有若干小题，则按小题记.

2.习题类型.习题类型主要有客观题和主观题两大类.5版教科书习题中客观题是指选择题，而主观题包括计算题、阅读题以及解答题，凡是不能明确判断为前两种的均归为解答题.

3.习题难度.主要借助于曹一鸣和吴立宝建构的例习题难度模型，从要求水平（YQ）、知识点含量（ZS）、背景水平（BJ）三个维度进行分析，具体难度水平见表1.

表1 习题难度水平划分

习题难度的计算公式用如下的①、②、③、④表示.

习题的平均要求水平（YQ）的计算方法如下：

其中 “模仿（或理解、或运用、或探究）”的

习题 的计算方法如下：

其中A（或B、或C、或D）为“含1个（或2个、或3个、或3个以上）”的习题数目.

习题的背景水平（BJ）的计算方法如下：

其中A（或B、或C、或D）为“无背景（或个人生活背景、或公共常识背景、或科学背景）”的习题数目，所谓“无背景”是指纯粹的数学问题.

对于整部分习题的难度（N）的计算，用如下公式：

这里的α，β，γ分别是要求水平、知识点含量和背景水平的权重，其值分别为0.38，0.36，0.26（α，β，γ分别是由层次分析法得出的）.

三、研究结果及分析

按照设计进行梳理与统计分析，其结果如下：

（一）习题数量基本持平

5版教科书中的习题各有特色，数量方面如表2所示.

教科书版本 练习题 习题 总计 习题中设置小问的题目数无小问 1-3小问 3小问以上人教A版 2 4 6 2 2 2人教B版 0 6 6 6 0 0北师大版 2 5 7 5 2 0苏教版 5 6 11 10 1 0湘教版 1 6 7 1 3 3

从总量上看，苏教版在“几何概型”一节的习题设置是最多的，而其他4版教科书在习题总量上基本持平，但不同的是人教A版与湘教版倾向于在同一题设背景下分小问来设置题目，内容上层层递进，对于基础知识的巩固很到位.从习题设置的总量上看，人教A、B两版虽然题数一样，但人教B版不设小问，且题目中以“随机模拟实验”为主，将实践与数学结果作对比，来考察学生所得的结论，题目的开放性较强.

（二）习题类型分布均匀，计算与解答题居多

习题类型的统计见表3.

表3 5版教科书“几何概型”一节的习题类型统计表

从表中数据可知，并没有任何一版教科书是全部涉及到四种习题类型的，各版教科书的习题类型分布差异不大、比较单一，这与平时考试题目类型的契合度不高，仅人教A版设计了选择题，苏教版设置了一道阅读题，其余主要集中在计算题与解答题上.

（三）习题难度差异不大，背景多样性有待提高

按照难度测量模型，分别在要求水平、知识点含量和背景水平三个方面进行统计，得到如下结果，见表4.

表4 5版教科书“几何概型”一节习题的三个维度考查的统计表

首先，由表4可知，5版教科书的习题设置对学生在“模仿”、“理解”方面的能力要求都很高，人教B版对学生的综合分析能力要求相对较高，注重推理的综合化，在学生的理解中用比较法来发现数学结果与实验数据的统一；苏教版处理习题更加注重层次化，其习题的设置梯度明显，设有“练习”“感受·理解”“思考·运用”“探究·拓展”等栏目，内容难度节节上升，过渡平稳；人教A版、北师大版及湘教版均重视知识巩固过程中的碎片化，即将一个综合问题分解成若干小问题，由统一的大前提来辐射出小问题，加深学生的理解与印象，其意图在于步步推进，引导学生独立思考，进而解决问题.总体上，各版教科书在题目的设计结构上有共同之处，即习题与例题的契合度比较高，参照例题结构，深化和巩固新概念，其设置思路充分体现了例题的示范功能，减少了学生初学新知识的认知负荷，进而有利于巩固思维的深刻性.

其次，在背景因素水平方面，5版教科书均有涉及背景知识，但其分布程度各有不同，每版以“个人生活”为背景的占比均很高，习题设计贴近于生活，包含了诸多生活中的场景，呈现方式也很丰富.相对来说，人教版的两版习题的背景比较单一，集中表现在与例题相同的“转盘”与“随机模拟撒点实验”上，背景的创新点不足；苏教版教科书的习题背景最为丰富，虽然纯数学背景（即无背景）的题目占到45%，但其他题目背景均涉及“个人生活”、“公共常识”和“科学背景”；5版教科书在“科学背景”方面的习题很少.所以，在教科书习题的设计过程中，应该紧密联系实际背景，重视培养学生建立数学与现实联系的能力，从而更有力量地去解决变化世界中的问题.让学生感受数学知识在生活中的应用，并学到有用的知识.

最后，习题的设置要注重问题的引导和生活化，题目的起点较低，给学生充足的空间去模仿领会做题的思路.按照教科书数据的统计，对难度测算的结果见表5.

教材版本 要求水平 知识点含量 背景水平 难度值人教A版 1.83 1.83 2.5 2.01人教B版 2.33 2.17 1.5 2.07北师大版 1.86 2.57 2.14 1.67苏教版 2 1.64 2 1.87湘教版 1.86 2.43 1.57 1.99

从表5可知，在要求水平方面，人教B版与苏教版比较高；在知识点含量方面，人教B版、北师大版、湘教版均很高，其考查范围较广，需要学生调用储存于大脑中的长时记忆来解决问题，虽然有些知识点比较简单，比如一个面积计算公式，但如果被遗忘也会影响做题效果，故这三版教科书注重对以往知识点的巩固，且以此为基础完善新知识的巩固.知识点含量的不同，说明各版教科书设置习题的侧重点不同，对于学生的知识储备容量的考虑有所差异；表中还可以看到人教A版的背景水平比较高，但需要说明的是其背景内容单一，这一方面做的较好的是苏教版，结合背景，沿着模仿、理解、运用、探究每一级来设置习题，符合思维发展的递进原则，不同文化背景下思维的着力点有所不同，学生学习产生的效果也会因此有所不同.

通过④式计算得到5版教科书“几何概型”习题的整体难度，发现人教版难度最大，这与习题表述简练，陈述性语言较少有很大关系；整体来看，各版教科书难度差异并不是特别大.

四、研究结论及反思

经过分析比较，得出了如下一些结论，这些结论有利于科学建构习题并发挥其功能.

（一）提高题型丰富性，促进数学学习能力发展水平

基于5版教科书的习题题型的分析，能够清晰地看到，其类型主要是计算与解答题，仅人教A版设置了选择题，苏教版设计了阅读题，其余教科书均只有两种题型，这与数学思维发展的要求并不相符，如果教科书中仅有单一的题型，那么学生就会形成定式思维，所以，在教科书习题设置中要突破题型单一的局面，不断增加诸如辨析题、说理题、拓展题等题型，以此促进学生学习的积极性与主动性，让学生的数学思维不断舒展，学习能力不断提升.

（二）习题背景多样化，增强数学与其他领域融合度

数学学习的主要目的是帮助学生在应对复杂世界的挑战时，会用数学的眼光、思维、语言来分析、思考数学与现实的联系，进而有效地去解决现实问题.为此，需要加强数学习题背景的多样化，依据生活情景、公共常识，以及科学背景来设计习题，用贴近实际生活的数据拉近数学与生活的距离，“几何概型”一节主要展现的是应用型知识，应该用多样化的背景，结合各个领域的现实来表征知识的实用性，激发学生的学习兴趣.

（三）习题注重分层设计，体现难度的梯度性

各版教科书中所提供的习题虽然在知识考查上比较全面，但仍以巩固基础知识为主，题目较为简单，有很大的提升空间.教科书习题应当有明显的层级关系，仅苏教版梯度体现的较为明显，人教A版、B版有A、B组的分类，其习题设计的思路是“以基础诱发思考，然后应用巩固，加深理解，最后一般是对其新学知识的拓展延伸，这对学生要求比较高”.事实上，习题设计中的分层设计有利于引导学生明晰思路，逐步突破，也有利于不同层次的学生完成不同水平的习题任务，盘活学习的动机与资源，为教师在教学中恰当地设计与处理不同的习题类型提供一条有效路径，但现阶段各版教科书习题的难度差异并不大，因此需要有梯度性的设计，才能有目的地激活学生的思维，从而培养学生的独立思考能力和探索精神.

五、结束语

习题是学生课后巩固知识，提升学习品质的重要途径之一，习题的设置应该以学生的认知为出发点，过多或不足均不利于学习任务的完成，因此，要高度重视习题的设计，深入思考不同内容背后习题设置的类型、背景、难度等问题，科学合理地论证习题设计的意境、题量、表述，基于学生数学核心素养发展的视角来探索习题系统.通过对内容的学习、思考与习题的解决达到提升学生数学核心素养的目的.