注重数学运算，提升核心素养——以2018年全国高考数学试题为例

☉浙江省杭州市余杭实验中学 王国军

2018年是浙江省新高考实施的第二年，也是全国新课标（2017版）发布后的第一年，全国各地数学高考试题既注重基础又兼顾选拔梯度，充分考查了学生的思维品质与学习潜能，彰显了对学生数学核心素养的考查要求.文章以“数学运算”素养为切入点，通过高考题谈谈如何在教学中提升学生的核心素养.

一、问题的提出

数学运算是数学学科的六大核心素养之一，是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.［1］

数学运算是学生必备的一项基本技能，数学运算问题是贯穿整个高中数学学习的一条主要链条，其不仅是按照公式、法则和程序进行的简单操作过程，更是复杂烦琐的思维体操过程，借此锻炼学生的耐心和意志品质，提升数学素养.本文结合教学实践，通过一些具体的案例来剖析学生数学运算素养的培养与提升.

二、问题的解决

数学运算是解决相关数学问题的基本手段，能够进一步发展学生的数学运算能力，借助运算方法来解决实际问题，通过运算来促进学生的数学思维的发展，进而让学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟与严谨求实的科学精神.

1.掌握基本运算法则，作好基础铺垫

例1（2018·江苏·16）已知α，β为锐角

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α-β）的值.

分析：（1）利用同角三角函数基本关系以及二倍角的余弦公式进行运算求解；（2）利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式以及两角差的正切公式进行运算求解.

解：（1）因为

因为sin2α+cos2α=1，所以

（2）因为α，β为锐角，所以α+β∈（0，π）.

因此tan（α+β）=-2.

点评：涉及此类三角函数的求值与运算问题，往往综合同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角恒等变换等相应的三角公式，并借助三角函数的求值等来进行数学运算与处理.在处理集三角函数的“繁、长、巧”于一体的数学运算过程中，要意识到解题环节产生的运算，并通过分析进行合理调控，深入理解算理，提高运算的灵活性，提升速度与效益.

2.强化运算技巧意识，分解运算难度

例2（2018·全国卷Ⅱ文·21）已知函数f（x）=

（1）若a=3，求f（x）的单调区间；

（2）证明：f（x）只有一个零点.

分析：（1）先对函数f（x）求导，结合f′（x）=0，讨论导函数的正负取值情况，进而确定函数f（x）的单调区间；（2）等价转化，f（x）只有一个零点等价于3a只有一个零点，然后通过对函数g（x）求导，并利用函数g（x）的单调性来转化与确定即可.

解：（1）当a=3时

令f（′x）=0解得或

故f（x）在上单调递增，在上单调递减.

当且仅当x=0时g′（x）=0，

所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，

故g（x）至多有一个零点.

又g（3a-1）＜0，g（3a+1）＞0，故g（x）只有一个零点，即f（x）只有一个零点.

点评：在导数的运算与证明过程中，通过转化f（x）只有一个零点等价于只有一个零点，并利用函数g（x）的单调性来转化与确定即可.通过强化导数中的运算技巧，往往可以有效降低运算难度，提升解题效益.

3.善于优选运算方法，展开丰富联想

例3（2018·全国卷Ⅰ理·19）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

分析：（1）根据已知条件确定直线l的方程，进而确定点A的坐标，既可求解直线AM的方程.（2）通过对直线l分类讨论：直线l与x轴重合；直线l与x轴垂直；直线与x轴不重合也不垂直.然后设出直线l的方程，通过对直线MA，MB斜率之和的求解，结合直线与椭圆方程的联立，结合函数与方程思想，通过kMA+kMB=0，进而得到MA，MB的倾斜角互补，得以证明∠OMA=∠OMB.

解：（1）由已知得F（1，0），直线l的方程为x=1，

由已知可得，点A的坐标为

所以AM的方程为

（2）证明：当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.

当l与x轴不垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为x=my+1，则，直线MA，MB的斜率之和为

由x1=my1+1，x2=my2+1，

将x=my+1代入

得（m2+2）y2+2my-1=0，

从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以

综上，∠OMA=∠OMB.

点评：在解决与证明∠OMA=∠OMB时，可以利用直线的斜率和为零加以转化，通过选择适当的直线方程，可以优化运算方法，从而达到快速简单求解的目的.

4.充分挖掘题目条件，整合知识交汇

例4（2018·浙江·17）已知点P（0，1），椭圆（m>1）上两点A，B满足则当m=______时，点B横坐标的绝对值最大.

分析：以直线AB的斜率k为自变量，对其斜率是否存在加以分类讨论，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到对应的x1与x2的关系式，并借助得到x1=-2x2，通过消元得到x2的关系式，利用基本不等式来确定最值，并求得取最值时m对应的值.

解析：设

若直线AB的斜率不存在，则有x2=0，此时有解得m=9.

若直线AB的斜率存在，设其斜率为k（k>0），则直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，整理可得（4k2+1）x2+8kx+4-4m=0，

综上所述，可知当m=5时，点B横坐标的绝对值最大为2.

点评：涉及此类数学运算问题，往往要充分挖掘题目条件，借助平面向量的转化，根据根与系数的关系，并结合基本不等式来处理.借助圆锥曲线中的代数运算，考查了数学运算求解能力，体现了数学运算的核心素养.

5.深入理解运算内涵，进行逻辑推理

例5（2018·天津·7）已知双曲线0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）.

分析：根据对称性可知，F为AB的中点，又结合梯形的中位线定理得到右焦点F到渐近线的距离，利用点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离，进而得到参数b的值，并结合离心率来进一步确定参数a的值，从而求得双曲线的方程.

解析：因为过右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，根据图形的对称性可知，F为AB的中点，

根据梯形的中位线定理可知，右焦点F到渐近线的距离

而焦点F到渐近线的距离

即b=3.

点评：对称点是解析几何问题中的和谐元素，我们可以通过对称点来确定相关点的坐标、建立关系式、构建几何性质与几何量的关系等.涉及此类运算的问题，往往通过解析几何中的对称思维进行逻辑推理，深入运算内涵，通过对称性可知F为AB的中点，为进一步利用梯形的中位线定理提供条件，巧妙地达到优化过程、事半功倍的效果.

三、感悟与反思

高中数学概念多且抽象性强，而且公式、定理也比较多，需要学生熟练掌握公式的变形和逆用，因此教学中需要通过具体典例不断巩固，加强辨析，强化记忆，才能熟能生巧.其实，数学运算素养能力的提升与培养是一个循序渐进并且螺旋式上升的过程.学生通过对不同的数学运算方式进行比较与感悟，加深对数学概念的理解与运算规律的掌握，同时优化了数学的思维品质.数学运算素养与数学逻辑思维能力的培养与提升是一脉相承、休戚相关.