具有有限个间断点函数的中值定理及其应用

邱美兰，曾志聪,2*

（1. 惠州学院 数学与大数据学院，广东 惠州 516007；2. 大亚湾澳头实验学校，广东 惠州 516081）

1 引言

在数学分析中微分中值定理与积分中值定理有着举足轻重的地位. 微分中值定理是连接函数值及其导数值之间的重要纽带，不仅构成了微分学基本理论的重要内容，而且是研究函数整体性态的一个有力工具[1]，它可谓是微分学理论及其相关应用的基石. 积分中值定理是积分学的一条重要性质，也是将复杂函数的积分化为简单函数积分的有效工具之一[2]. 微分中值定理与积分中值定理在许多实际问题（如： 求函数极限、判定函数在某个点处的性质、比较积分值的大小等）中具有广泛应用，然而由于许多描述实际问题的数学模型中所涉及的函数不满足连续函数微积分中值定理的条件，所以不能直接使用上述定理对相关问题进行有效的求解，连续函数微积分中值定理具有一定的局限性.

因此，许多学者开始对微积分中值定理进行研究并推广其应用具有了浓厚的兴趣，目前也取得了一些丰硕的研究成果. 例如：2001年，李超等对 Cauchy 微分中值定理进行了研究，将 Cauchy 微分中值定理推广到多元函数中[3]；2017年，崔艳运用复积分原理，给出了一种新的复变函数积分中值定理，并将其应用到整函数情形[4]. 在文献[5]中，于瑞璇等考虑了基于不连续函数的值介性定理、Lagrange 中值定理和 Rolle中值定理 及通常的积分中值定理，并获得了相应的判定准则. 本文受文献[5]中研究工作的启发，考虑并推导证明了具有有限个间断点函数的柯西中值定理与推广的积分第一中值定理，进一步补充完善了该研究领域的不足.

2 具有有限个间断点函数的中值定理

2.1 具有有限个间断点函数的柯西中值定理

定理 1. （具有有限个间断点函数的柯西中值定理）设函数和在上均可导，均为和的第一类间断点，且和不同时为零，，则使得

证明 构造辅助函数

2.2 具有有限个间断点函数的推广的积分第一中值定理

定理 2. （具有有限个间断点函数的推广的积分第一中值定理）若函数与在开区间上连续，区间端点为与的第一类间断点，且在上不变号，则至少存在一点使得

证明 构造辅助函数：

3 具有有限个间断点函数的中值定理的相关应用

3.1 具有有限个间断点函数的柯西中值定理的应用

例1 证明函数

3.2 具有有限个间断点函数的推广的积分第一中值定理的应用

4 总结

本文在连续函数的微积分中值定理基础上，通过构造闭区间内的连续函数或可导函数，首次尝试推导并证明了具有有限个间断点函数的柯西中值定理与推广的积分第一中值定理，同时给出若干判别准则，最后利用相关的应用实例，验证了这两个定理的正确性和有效性.