超拓扑空间上的超仿紧性质

刘 赫，张国芳

Mashhour在1983年去掉了拓扑空间的有限交条件，给出了超拓扑空间的概念［1］，把拓扑空间上的连续映射扩展到超拓扑空间上的超连续映射，得到了每个连续映射都是超连续映射，也给出了超拓扑空间上的分离定理STi(i=0,1,的概念，研究了它们的若干相关性质.Devi在2008年把拓扑空间上的α开集引申到超拓扑空间上的超α开集［2］，研究了超α开集的一些基本性质，介绍了超α连续映射的概念，研究了超α连续映射的一些性质，得到连续映射和超连续映射都是超α连续映射，并给出例子说明它们的逆定理不成立.

T.M.Al-Shami在2016年给出了超极限点、超边界点和超闭包算子等概念［3］，研究了它们所具有的性质，介绍研究了超紧（超Lindelöf）空间、几乎超紧（几乎超Lindelöf）空间和弱超紧（弱超Lindelöf）空间，同时给出了超正则空间、超正规空间和STi(i=3,4)空间的概念，讨论了这些空间在一些超映射下的像与逆像性质.T.M.Al-Shami在2017年使用超α开集的概念［4］，介绍了超拓扑空间上超α紧（超αLindelöf）空间、几乎超α紧（几乎超αLindelöf）空间和弱超α紧（弱超αLindelöf）空间的概念，同时研究了这些超空间的若干性质，并且通过一些例子来指出这些概念之间的关系，从而导出一些值得进一步讨论的结论［5］.

文章主要把拓扑空间上的若干仿紧性质引申到了超空间上的若干超仿紧性质，并且给予了充分的证明，对超空间进行了更深层次的论证与阐述.

1 预备知识

定义1［1］若X上的子集族τ∗满足τ∗中包包，记作

定义 4［3］设A是超空间 (X,τ∗)的一个子集，x∈X.若x每一个超邻域都至少包含A中的一个不同于x的点，那么点x叫作A的超极限点.A的所有超极限点的集合叫作A的超导集，记作As′.

定义5［3］在超拓扑空间 (X,τ∗)中，若每一个超闭子集F和每一点x∉F，都存在两个不相交的超开集G,H，分别包含F和x，则称X是超正则空间，也称X是ST3空间.

定义6［3］一个超拓扑空间 (X,τ∗)，若两个不相交的超闭集F1和F2，存在不相交的超开集G和H分别包含F1和F2，则称超拓扑空间(X,τ∗)是超正规空间，也称X是ST4空间.

定义7［4］若超拓扑空间X的每个超开覆盖有有限（可数）个子覆盖，则称X是超紧（超Lindelöf）空间.含X和φ且τ∗中任意子族的并仍在τ∗中，则称τ∗为X上的超拓扑，偶对(X,τ∗)称为超拓扑空间.τ∗中的元素叫作超开集，超开集的补集叫作超闭集.

定义 2［1］设 (X,τ∗)是一个超拓扑空间，x∈X，如果U是X的一个子集，存在一个超开集V∈τ∗，使得x∈V⊂U，则称U是点x的一个超邻域.

定义3［2］设E是超空间 (X,τ∗)的一个子集，那么包含E的所有超开集的交叫作E的超闭

2 超仿紧空间的一些相关定义

定义8 称超拓扑空间X的子集族是超局部有限族，若每一点x∈X，存在超邻域U，使得是有限的.

定义9设(X,τ∗)是超拓扑空间，u是超开集族，若则称u是X的超开覆盖.若u为X的一个超开覆盖且为超局部有限族，则称μ为X的一个超局部有限开覆盖.

定义10 设 (X,τ∗)是超拓扑空间，是X的两个超局部有限开覆盖，且 ∀Bt∈v,∃As∈u使得Bt⊂As，则称v为u的一个超局部有限开加细.

定义11 设X是超拓扑空间，若X的每个超开覆盖都有一个超局部有限开加细，则称超空间X叫作超仿紧空间.

3 主要结果

命题1 对于超空间X的任何子集A，B，都有A⊂B,则scl(A)⊂scl(B).

证明 由文献［3］中的命题3.2可知，若A⊆B，则 有As′⊆Bs′, 又 因 为 scl(A)=A⋃As′,scl(B)=B⋃Bs′,所以 scl(A)⊂ scl(B).

命题2x∈scl(A)⇔x的任意超邻域U，有U⋂A≠φ.

证明 ⇒x∈scl(A) ，则有x∈A或x∈As′.

（1）若x∈A，则有U⋂A≠φ；

（2）若x∈As′，则 由 超 导 集 定 义 可 知所以U⋂A≠φ.

⇐若x的任意超邻域U，有U⋂A≠φ.

（1）若x∈A，则有x∈scl(A)=A⋃As′；

（2）若x∉A，则A=A{x} ，U⋂A≠φ，即有所以x∈As′⊂scl(A).

命题3 若U是一个超开集且U⋂A=φ，那么有

证明 假设存在点x∈U⋂scl(A) ，因此且U是x的一个超邻域.由命题2可知U⋂A≠φ，这与已知矛盾，所以有

命题4 对于任何超局部有限族{As}s∈S都有

引理1设X是超仿紧空间，A，B是X的两个超闭子集.若每一点x∈B，存在超开集Ux，Vx使得A⊂Ux，x∈Vx且Ux⋂Vx=φ，那么也存在超开集U，V使得A⊂U，B⊂V且U⋂V=φ.

证明 集族{XB}⋃{Vx}x∈B是X的一个超开覆盖，由超仿紧空间定义可知它有一个超局部有限开加细设由命题 3，则有A⋂sclWs=φ，s∈S0，而且由命题4可知是超开集也是超开集，U⋂V=φ，即得证.

定理1 每一个超仿紧空间都是超正规的.

证明 在引理1中，若用超单点集代替A，则超仿紧空间一定是超正则的，故再次应用引理1可知超仿紧空间是超正规的.

定理2 每个超紧空间必是超仿紧空间.

证明 设X是超紧空间，则X必为超正则的.故对于包含x的任意超开集W有x∉XW.由XW为超闭集及X的超正则性质，必有超开集H，G，使得x∈H，XW⊂G且G⋂H≠φ，所以设u为X的任意超开覆盖，则u中有限个元素U1,U2,…,Un，使得那么存在超开集Ui，使得x∈Ui，故有超开集Vi，使得x∈Vi⊂scl(Vi)⊂Ui，令A1=V1,A2=V2sclV1,…,An=VnsclVn-1，则{A1,A2，…,An}为u的超局部有限开加细.

事实上，∀x∈X，则必存在i＜n使得x∈Ui.但x∉Ui-1，则x∈Vi，但x∉scl(Vi-1)，所以且Ai至多与{A1,A2,…,中Ai+1,…,An相交，故为u的超局部有限开加细，即得证.

定理3 超仿紧空间的每个超闭子空间是超仿紧的.

证明 设X是超仿紧空间，E是X的一个超闭子空间，令{Gα:α∈Λ} 是E的任意一个超开覆盖，则u=⋃Gα⋃Ec为X的超开覆盖，因为X是超仿紧空间，故存在一个超局部有限开加细v，即 ∀V∈ν，∃U∈u使得V⊂U，取V′=那么V′构成了E的超局部有限开加细，所以E是超仿紧的.

4 结论

本文在超拓扑空间基本概念的基础上，介绍了超仿紧空间的定义，研究了超仿紧空间的若干性质，对它们进行了充分的论证，得到了超仿紧空间的每个超闭子空间是超仿紧的等重要结论，这些结论拓展了超空间的研究领域，对超空间理论进行了有力的补充.