线性代数中行列式性质的讲法

白忠玉

【摘要】在应用型本科背景下，基于教学经验，介绍了线性代数课程现状，分析了行列式性质的引入、内容与应用，提出了关于讲解行列式性质的一些想法.

【关键词】线性代数;行列式性质;应用型本科

目前应用型本科线性代数课程出现一些新变化，课时被压缩，重应用轻理论，教材内容没有减少，教学要求越来越高，有些专业甚至不再开设线性代数.在这种情况下，如果再按部就班完整系统地讲授，时间不允许，内容讲不完，学生不易学.考虑到应用型本科学生数学基础普遍薄弱，尤其是理论方面，有必要对线性代数的讲法进行一些创新.

本文以线性代数中行列式性质这一节为例，来谈一谈应用型本科院校线性代数课程讲法.行列式性质是必须掌握的重要理论，是计算行列式的关键，难点是如何灵活运用行列式的性质，巧妙而简洁地计算出行列式的值.对线性代数行列式，已有一些研究结果，见[1-6].下面讨论在行列式性质教学中要注意的几个问题，如引入、性质与应用等.

一、引 入

应用型本科教学对理论要求不是太高，侧重于培养学生的实践动手能力，而行列式性质又比较抽象，在讲行列式性质之前，可适当选取一些三阶行列式的例子，让学生计算出各行列式的值，教师再讲解，这样既复习巩固了前面已学行列式的有关知识，又为引出行列式的性质做铺垫，与传统的理论推导相比，学生容易接受，事半功倍.

二、性 质

大多数线性代数教材中行列式性质编排得比较杂乱，给教师教学和学生学习带来很大的困难.在此，我们总结出行列式的性质，虽然没有经过严密的证明，却降低了学生理解行列式性质的难度，又培养了学生学会归纳的良好习惯，也符合应用型本科教学的实际情况，提高了教学效率.同时，为了便于学生记忆和掌握，我们给每条性质简单命名.当然，这些性质可以推广到更高阶的行列式.

（一）转 置

行列式与它的转置行列式相等，即D=D′.

（二）互 换

交换行列式的两行（列）一次，行列式变号一次.

（三）提公因子

行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式的外面.

（四）零 值

（1）若行列式中有一行（列）元素全为零，则行列式为零.

（2）若行列式中有两行（列）对应元素成比例，则行列式为零.

（3）若行列式中有两行（列）对应元素相同，则行列式为零.

（五）分 解

若行列式某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式就等于两个行列式的和.

（六）倍 加

把行列式某一行（列）的倍数加到另一行（列）上去，行列式的值不变.

三、应 用

和应用型本科其他课程的学习一样，线性代数也要注重应用.教师在教学中要简要介绍行列式有哪些应用，以及如何应用，让学生认识到行列式的重要性，感觉到线性代数课不再抽象枯燥，从而提高学习兴趣和积极性.

学习了行列式性质后，我们就可以计算行列式、解线性方程组、判断方阵是否可逆等.行列式在其他学科中也有重要的应用，如微积分中重积分的变量代换、解析几何中求曲线方程和曲面方程、代数中构造行列式证明不等式和定理等.在以后的学习中，大家将会看到行列式在工程技术、数据科学、经济学中也有广泛的应用.本文只阐述运用行列式性质计算行列式和解线性方程组.

（一）计算行列式

大家已经熟知上（下）三角形行列式的结果，因此，计算行列式时，常利用行列式的性质，根据所求行列式的特点，把它化为上（下）三角形行列式，此时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值，这种方法称为“化三角形法”.

（二）解线性方程组

当线性方程组中方程的个数和未知数的个数相同，且有唯一解时，我们可以用行列式来解方程组，这就是“克莱姆法则”.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量比较大，往往可以用计算软件来解决.

至于其他方面的应用问题，此处不再赘述，大家可参阅相关文献和书籍.

【參考文献】

[1]舒阿秀.关于线性代数中行列式教学的思考[J].安庆师范学院学报：自然科学版，2006（3）：46-47.

[2]常华珍.巧用行列式性质 发展学生的智力[J].吉林教育：教科研版，2007（8）：44-45.

[3]房宏，金惠兰，穆志民，等.线性代数及其应用[M].北京：清华大学出版社，2016.

[4]苏岐芳，夏志乐.基于能力培养的“线性代数”教学设计研究[J].台州学院学报，2017（6）：53-56.

[5]杨先山.行列式及其性质的几何解释[J].赤峰学院学报（自然科学版），2017（6）：9-11.

[6]翟全礼.关于行列式的教学设计[J].科技资讯，2017（34）：138-139.