用正交变换法化二次型为标准形的简洁计算方法

2019-01-13 01:33杨威高淑萍
数学学习与研究 2019年23期

杨威 高淑萍

【摘要】用正交变换法化二次型为标准形问题是线性代数的重要知识点,其计算非常烦琐.本文针对特殊二次型,给出了特征值快速求法、特征向量快速求法,并用待定系数法替换传统的施密特法实现向量的正交化.熟练掌握这些方法后,解决此类问题的时间将大大减少,提高了学习效率.

【关键词】二次型;特征值和特征向量;施密特正交化法

一、引 言

线性代数是高等学校理、工、农、经、管等专业的重要基础课程,它不仅是数学课程的基础,而且也是自然科学、工程技术和经济管理等领域应用广泛的数学工具.线性代数概念抽象且计算烦琐,给刚入学的大学生带来很大的学习压力.本文针对特殊的二次型,给出了一个用正交变换法化二次型为标准形的简洁计算方法.

用正交变换法化二次型为标准形问题考查了学生“求行列式”“解方程组”“求特征值特征向量”“矩阵相似对角化”及“二次型”等知识点,该问题贯穿了线性代数的所有知识,所以它成为线性代数的常考题型,甚至是必考题型.

六、结 论

本文通过三道例题介绍了三种简洁的计算方法,需要注意以下问题.

第一,“特征值的快速求法”要求矩阵A的结构为:主对角线全为a,其余元素全为b.该方法能进一步推广出“行列式的快速求法”.

第二,“特征向量快速求法”首先要求矩阵A是n阶实对称阵,其次要求矩阵A有一个n-1重特征值和一个1重特征值.该方法不需要任何计算,可以直接写出答案.

第三,“待定系数正交化法”是求单个齐次线性方程正交基础解系的一個方法,该方法与施密特法计算结果一致.因篇幅有限,本文只介绍了三元齐次方程组的情况.

当熟练掌握以上方法后,针对特殊二次型,即可快速解决“用正交变换法化二次型为标准形”问题,大大提高了学习效率.

【参考文献】

[1]杨威.线性代数名师笔记[M].西安:西安电子科技大学出版社,2014:198-215.

[2]杨威.线性代数辅导讲义[M].北京:电子工业出版社,2011:174-181.