准确把握教材意图 强化思想方法渗透——《数与形》教材解读与教学建议

○朱 宇

编者按：基本思想是数学课程标准中“四基”的重要组成部分，数学思想方法是小学数学教学的重要内容。学生通过“数学广角——数与形”的学习，进一步体会数形结合思想的实际意义，在培养形象思维能力的同时，促进逻辑思维能力的发展。

《数与形》是人教版六年级上册第八单元“数学广角”的内容。本单元包括两个例题和10道习题，借助一些特殊的算式与图形的相互对照，引导学生体会数形结合思想的直观性，自主探索图形中隐藏着的数的规律，深化数形结合解题方法的学习，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。

一、教材变化点

新教材用“数与形”取代了原来的“鸡兔同笼”问题，“鸡兔同笼”问题被前移到四年级下册。

一方面，“鸡兔同笼”的学习重点在于突出尝试的策略，在尝试过程中不断调整思路，逐步发现规律，侧重于在尝试与枚举中培养归纳推理能力。很显然，这种目标定位滞后于六年级学生的认知水平。而且，学生在五年级已经学习了方程，如果用列方程解决“鸡兔同笼”问题，虽然正确，但是偏离了“数学广角”教材编排“方法更一般，适用范围更广泛，更能体现数学基本思想”的理念。

另一方面，数形结合是一种非常重要的数学思想，小学数学教材中有许多数与形相结合的例子，学生已经积累了一定的活动经验，到了六年级需要安排专门的课时进行回顾与整理。让学生体会形中有数、数中有形，进而以形助数、以数解形，体会数形结合思想的实际意义。

二、年段衔接点

在本单元学习之前，学生在小学数学各领域知识的学习中与“数形结合”都有广泛接触。例如，低年级借助直线认识数的顺序，高年级画线段图帮助理解数量关系，还有位置、正反比例关系图像、统计图等内容，都是用“形”作为直观工具帮助学生分析和解决问题，领悟代数与几何之间的联系。图形与几何领域，学生进行角度、周长、面积和体积的计算，都是从量化的角度研究图形的特征，用“数”解决“形”的问题。这些内容是数形结合思想的体现，是学习中学数学的重要基础。

到了中学阶段，数与形的结合更是得到了广泛应用，例如实数与数轴上的点，函数与图像的对应关系，在数轴上表示不等式的解集，解决最值、值域问题，以及在解析几何方面的应用等等。

三、疑难问题与策略建议

1.本单元课时内容怎样设置比较合理？

本单元包括例1、例2、“做一做”及练习二十二的8道练习题，分2课时进行教学。在课时内容安排上，存在两种观点。

第一种观点主张将两个例题集中在一课时内学习，第二课时则用来集中练习。理由是：两个例题都体现了数形结合的数学思想，例1为用数表示形的规律，即“以数解形”；例2则用形解决了数的问题，即“以形助数”，两个例题集中学习能充分体现数与形的紧密结合。

第二种观点则认为，两个例题分属不同层次，应当分两课时教学。例1是通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示数的规律，即利用正方形直观地理解“正方形数”或“平方数”的特点。例2则是借助图形解决一些比较抽象的、学生不易接受而且难以解释的问题，即根据分数意义，利用圆的模型，直观理解“极限”的概念。

本单元的教学目标，重在感知“数”与“形”之间的关系，体验数与形各自的价值，所以，相比较而言，第二种安排更为合理。将两个例题分开新授，每一课时都采用“例题+配套习题”的方式设置教学内容，能够使抽象的数学形象化的过程充分展开，又能够保证探索、体验、理解、应用的时间，有助于突出重点，突破难点。例如，“极限”思想的渗透，需要从“有限”向“无限”的延伸，没有充足的体验经历，学生很难体会推理和极限思想。

2.例1的教学：如何让“数”“形”间的规律探索更有效？

（1）针对学情细化目标。

学生知道“从1开始，连续的若干个奇数相加的和，等于加数个数的平方”这一规律，而且能运用规律计算连续若干个奇数相加的和，但在数形对照的过程中，却不能确切描述算式与图形之间的联系。因此，我们要在“感受数形间的对应关系”总目标下，将“数形间的对应关系”细化为“项数与正方形边长的对应关系，末项与图形最外层的对应关系”，既要从算式本身发现加数的规律（从1开始的连续奇数相加），又要从正方形中发现和的规律（连续的正方形数）。

（2）遵循规律优化素材。

例1中“形”的问题包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形”来帮助解决，为了让学生有个性的思考和清晰的表述，可以先出示图形，探究图形对应的数。因为观察角度的不同，汇报交流时能出现不同的表达规律的方式，例如“1，4，9，16”，“1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16”，“1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16”。接下来再探究算式对应的图形，体会数中有形。由此，学生经历“数与形”的对应、转化和结合，逐步抽象，形成“计算从1开始的连续奇数之和等于加数个数的平方”模式。

（3）着眼应用拓展视野。

数形结合是重要的数学思想，也是解决问题的重要方法。在解决问题环节，可以设计“1+3+5+7+9+7+5+3+1=（ ）”和“5+7+9=（ ）”等变式练习。第一题可以看成1+3+5+7+9（52）和7+5+3+1（42），第二题是“1+3+5+7+9”与“1+3”的差，也就是52减去22，借助图形可以描述为一个边长是5的正方形里面减去一个边长是2的正方形，让学生进一步感受“数”与“形”之间的密切联系。“正方形数”学生会了，那么“三角形数”呢？“五边形数”“六边形数”呢？可以带领学生感受三角形数和正方形数之间有趣的联系，领略五边形数、六边形数、多面体数的神奇，再次扩大探究的领域。

3.例2的教学：怎样实现从“和越来越接近于1”到“和等于1”的跨越？

这是一道无穷递缩的等比数列求和问题。虽然学生借助图形能够推理出“和越来越接近于1”，但是对“和等于1”并不认同，因为直观图显示，无论怎么平均“分割”，图中好像总有“剩余部分”。

（1）观察算式特点，初步体会无限。

（2）展开画图活动，体会以形助数。

单纯从“数”的角度看算式，算式中无穷项累加求和，超越了学生的认知，因此需要设置“画图”任务（在线段、正方形、圆等图形中表示这一算式），借助这些直观的“形”，学生能够发现这个算式的结果应该与“1”有关。形象直观的图形帮助学生感知这个数列的整体趋势，例如每一个加数都是前一个数的，这些加数的和无限接近1。直观图为求解算式结果指引了方向。

（3）借助模式直观，体会以数解形。

画图表征算式之和，能够帮助学生认识到和越来越接近1，但是不能准确地表示结果是否等于1。这时，可以引导学生换个角度，借助数来分析。出示，以这些熟悉的算式为支撑，想象，进而推理得出：1可以无限分解，表示为若干个分数相加，而且数列中后一个分数是前一个分数的一半。再借助等式的性质，完成推理：因为…，所以。“形”为学生提供问题解决的方向，“数”帮助学生找到准确结果，学生进一步体会到数和形各自的特点，对数形关系的理解得到升华。

（4）回顾已有经验，感悟极限思想。

关于无限数列，引导学生做出“无限个加数相加，和可能是无穷大，也可能是逼近某个确定的常数”这两种猜想，接下来可以回顾圆面积推导过程中涉及的“割圆术”，帮助学生猜想“极限”：当这个和无限地逼近某个常数时，会不会就等于这个常数呢？最终认可例2的结果等于1。如果时间允许，也可以从算式本身入手进行证明，设，那么2a=1+，把两式相减，就可以得到2a-a=a=1。这些措施能够帮助学生跳出“有限”的圈子，更深刻地感悟极限思想。

资料存盘

1.《数学广角──数与形》课标要求。

数学课程标准在“学段目标”的“第二学段”中提出：初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用；在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果；在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值。

数学课程标准在“课程内容”的“第二学段”中提出：探索给定情境中隐含的规律或变化趋势。

2.关于“极限思想”的几个注意点。

（1）极限思想是用无限逼近的方式来研究数量变化趋势的思想，包含两个要素：变化的量是无穷多个；无限变化的量趋向于一个确定的常数。

（2）当我们面对关于无限的问题时，要用无限的观点来思考，比如0.999…=1。

（3）极限方法只关注一个无限的变化过程的确定趋势是什么，如果某个变化的量“无限逼近”于一个确定的数值，那么这个定值就叫做变量的极限。例2中随着加数越来越多，和就越来越接近于确定的数1，所以，当加数个数无限多时，和就是1。