巧引促思，有效落实“有序思考”的目标

○张 霞 殷文翠

编者按：学生是否具备有序思考的能力，对后续学习具有相当重要的作用。本文例举了关于有序思考目标落实方面的一些问题，针对不同情况进行详细分析，并给出了有效的教学建议。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》总目标中“数学思考”一项指出，“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。”让学生学会独立思考，是数学课程培养学生创新能力的核心，而学会思考的重要方面之一是学会数学思维。关于数学思维方式有很多种，如转化思维、逆向思维、对应思维、假设思维等，无论哪一种思维方式，都需要做到有序思考。

所谓有序思考，就是按照一定的顺序对对象进行排列组合，使其既不遗漏，又不重复，进而获得正确结论的思考方法。学生在数学课堂上能否有序思考是发展数学思维的重要因素，是提高学生数学素养的重要抓手。因此，我们在教学实践中，应该做到巧引促思，有效落实“有序思考”的教学目标。

【教学片段】

冀教版二年级下册第八单元《探索乐园》

师：老师要请两名同学到前面来，和老师合影。如果我们站成一排，可以照出几张不同的照片？

生：老师在中间，A同学在左面，B同学在右面。

生：A同学在中间，老师在右面，B同学在左面。

生：老师在最右面，A同学挨着老师，B同学挨着A同学。

……

（教师根据学生的汇报，进行板书。）

师：同学们，这样找是不是比较乱，有没有更好的方法呢？

生：老师在中间，A同学、B同学在两边。A同学在中间……B同学在中间……

师：对，先固定中间，再交换就不会乱了。

【诊断分析】

根据教学目标，本课学习搭配的落脚点应是“认识有序思考的重要性”，以上教学片段很显然是没有达到这个目标的。教师虽然设计了给三个人照相这样一个有序的活动，但欠缺的是教师对学生有序思考的引导。

案例中学生的汇报是随意的，想到一种说一种，争着回答。从第二种方法开始，学生每说出一种方法，教师都要问：“这种方法有了吗？”然后师生共同查找后才能板书不同方法。在这一过程中，学生的学习状态已经游离，他们把注意力放在找不同的方法上，而忽略了这一活动内容的重要目标。教师板书后虽有引导“这样找是不是比较乱，有没有更好的方法”，应该是意识到了有序思考的重要性。但是，接下来从学生与教师的互动交流中，发现师生始终强调的是“固定中间法”。当然“固定中间法”是一种策略，但是按照我们从左到右的书写习惯，是不是应该先固定排头呢？这不仅是一种思考习惯的引导，还能为后续学习“数字的排列组合”打下有序思考的基础。

【教学建议】

数学知识的形成要经历从简单到复杂、由抽象到具体的过程，对学生进行有序思考的培养也要经历这样一个循序渐进的过程。教师要结合知识本体的特点，恰当引导学生进行有序的思考。

案例中教师提出“老师要请两名同学到前面来，和老师合影。如果我们站成一排，可以照出几张不同的照片”这个问题后，可以先让学生想一想，两个人照相会有几种不同的排法，让学生感悟到由于顺序不同排法就不同的道理。在此基础上，再来思考三个人的排列。为了避免学生进行无序的排列，教师可以适时引导：老师排在第一位不动，有几种方法？A同学排第一位呢？B同学排第一位呢？

在第一个活动的时候，当学生混乱表达出4种排列方法后，教师可以顺势引导学生有序思考：指定一人不动，另一人分别在他前面、后面、左面、右面，共4种方法（一般不会前后站位照相，所以是2种）。两个人的我们会排列了，那三个人怎样有顺序的排列呢？可以提示学生思考：如果妈妈排在第一位不动，有几种方法？爸爸排第一位呢？聪聪排第一位呢？在这种思维的引导下，学生可以把随意的想法按照一定顺序尝试，“既不重复，又不遗漏”的排列规则自然地渗透到课堂学习中，学生潜移默化地就能逐渐养成有序思考的习惯。最后汇报交流时，教师可以引导：“写名字太慢了，我们能不能用一种简单快速的记录方式呢？”学生会想到用编号或是符号代替人名，板书出来。这样，运用实体的有序排列、借助数学表征渗透有序思考的方法的同时，还对学生渗透了符号思想。

【教学片段】

冀教版一年级下册第四单元《认识人民币》

师：用这些1角、2角、5角的纸币凑出1元钱，看看哪组找到的方法多？

（学生小组实践操作，利用纸币找方法。）

师：哪组同学愿意分享你们的方法？

生：3张1角，1张5角，1张2角，3+5+2=10。

生：1张5角，1张1角，2张2角，5+1+4=10。

……

师：你们凑钱时是怎样想的？

生：我先拿一张，不够1元，再拿一张，不够，再拿，一直拿到够1元。

师：有没有更快的方法呢？

生：先拿面值大的，再拿面值小的，凑得快。

师：你们真有办法，都能很快凑出1元钱。

【诊断分析】

在凑钱的过程中，学生的思维是随着操作顺序进行的，如果拿纸币的顺序是混乱的，学生大脑中就不会形成清晰的思考方法。这位教师操作前提出的要求是“用这些1角、2角、5角的纸币凑出1元钱”。学生操作时，是凭感觉一张一张去凑，完全是无序的。从后面的汇报中也可以看出，由于教师没有对学生有序操作的引导，才导致学生思考无序，就是在随意凑1元钱。可见课堂上学生有序思考能力能否得到培养和提升，教师的引导至关重要。教师提出的每一个问题，每一个要求，都要考虑到学生思维的发展，做到精心设计。

【教学建议】

课堂上，教师要充分发挥好组织者、引导者的作用，操作前设计好探究性的问题，有意识地引导学生一步步带着问题去有序操作。如:

（1）用这些1角、2角、5角的纸币凑出1元钱，你想怎样凑？（预设：这时学生的想法应该就是教学片段中呈现的无序想法。）

（2）你们的想法不错，能凑出1元钱，但是很慢，而且容易重复。（设计意图：教师肯定了学生的想法，同时又提出这一做法的不足。）

（3）想一想，怎样凑，才能有序地把所有方法都凑出来呢？（设计意图:以明确的语言指导学生做什么，怎么做。）

在以上问题的引导下，学生自然要先动脑思考，再动手操作，使他们的操作带有思考性。有了这样的思考，学生就能选择不同面值有序地去操作凑钱。如可以按照面值由大到小的顺序思考，先从面值最大的5角考虑：5+5=10、5+2+2+1=10、5+2+1+1+1=10……有了一定的思路，课后即便离开纸币，学生也能在头脑中形成有序、完整的思维表象，建立有序的思维方法，促进有序思考习惯的养成。

【教学片段】

冀教版二年级下册的一道练习题

师：由数字1、4、6组成两位数，而且这个两位数的十位和个位上的数字不同，可以组成几个两位数？

生：能组成6个，分别是 14、41、16、61、46、64。

师：你是怎样想的？

生：我先选出两个数组成一个两位数，再交换位置。

师：你很聪明！其他同学有不同想法吗？

生：我是随意组的，组成一个写出来，如果有重复的就不写了。

师：你们觉得他的方法怎么样？

生：有点乱，不如第一种方法简单。

师：那我们就用第一种方法解决这个问题吧！

【诊断分析】

此题属于“搭配”部分教学内容的拓展练习，重在考察学生是否具备了有序、全面思考的能力。教学片段中，当学生提出“有点乱”时，教师没有抓住这一有利的生成资源，及时引导学生探寻有序的思考方法，而是顺应学生意愿，肯定了第一种方法。很显然教师只注重了结果而忽略了此题本身对学生思维的训练。三个数字的排列对于二年级学生来说比较简单，都能想出来，但是极少有学生会有序地排列出来。如果以后随着数字的不断增加，如四个数字组成两位数或组成三位数，学生还用这样的方法去随意地思考，就无法做到全面准确，很容易遗漏或重复。

学生的思维从无序走向有序的最佳阶段就在低年级，因此，教师一定要在教学过程中结合教学内容，把握时机对学生进行引导，培养有序的思维方式。

【教学建议】

在数学课堂上，教师有序示范是学生有序思考的保证，组织学生进行有序的活动是学生有序思考的前提，同时，教师还要对学生进行有序的引导，让学生有序的表达。因此，此题可以这样引导：

（1）如果十位上是1，可以组成几个两位数？分别是多少？（目的是为学生提供一个“有序示范”的引导。）

（2）按照这样的方法去思考，把能组成的两位数都写出来，看共有几个。（让学生有序排列。）

（3）观察排列结果，总结方法:每个数字在十位上，都能组成2个两位数，三个数字就能组成2×3=6（个）两位数，我们给这种思考方法起一个名字，就叫“固定十位法”。（总结提升）

（4）质疑：固定个位法行不行？试试看。（活跃思维）

（5）你觉得哪种方法更方便、更简洁呢？（优化方法）

这样不仅能帮助学生形成有序的思维方式，还能依据读数、写数习惯优化策略，促进其后续学习及思维能力的发展。