函数思想在高中数列中的渗透与应用

江苏省张家港高级中学 凌敏华

在高中数学的学习过程当中，数列是非常重要的学习部分，也是高考中重点考查的部分，数列是一种特殊的函数，我们在日常的数学教学中应当重视起来，把函数思想渗透和运用到高中数列的学习中，让学生能够更加清晰地理解函数思想和数列的关系，加深对数列的理解和掌握，解决数列学习中的困惑之处。我们需要了解函数思想的内涵，通过分析函数思想在高中数列中的渗透和应用举例，来找出数列学习的方法，简化数列解题的过程，锻炼学生的数学思维，提高数学学习的效率。

一、函数思想的内涵

函数思想是我们在长期的数学学习探索中形成的一种解决数学问题的思维方式，它是非常重要的数学思想。函数思想是通过定量和变量之间的联系、运动和变化的关系、集合与对应的关系把复杂的数学问题利用简单明确的函数关系数学模型来进行研究，从而解决数学问题。在高中数列的学习中，我们也可以将函数思想应用在解决数列的问题上，可以有效地提高解题效率。

二、函数思想在高中数列中的渗透

在高中数列的学习中，我们可以看到函数思想在高中数列中的渗透有很多方面，对于解决数列的问题，有很多规律可循。按照数列的基本规律可以包括为等差数列与等比数列两类，函数思想在数列中的渗透主要体现在数列概念、等差数列问题的解决、数列通项的解析式、数列例题的解答中，而函数的一些基本性质如单调性、周期性等也是解决数列问题的关键。对于数列的概念问题，教师和学生在解答数列问题的时候可以联系到函数思想，可以有效地锻炼学生的思维和解题能力，我们可以将数列通项公式看成是函数的解析式，这个函数是一种特殊的离散函数。对数列中问题的解答要探究好an，sn，n之间的关系，运用函数思想来解决数列问题，学生在学习一些数列典型例题的时候也可以看到函数思想的渗透。等差数列的通项an可以写成an=f（n）=an+b，当a≠0的时候，是n的一次函数，点（n,an）是一次函数an=f（n）=an+b的图像上的一些孤立的点。

例1：已知等差数列{an}中a3=5，a13=25，求它的通项公式an？

解：我们可以由已知的点（3,5），（13,5），n,an在同一直线上，所以可以得到：，所以可以求得通项公式an=2n-1。

三、函数思想在高中数列中的应用

函数思想在高中数列中的应用也是数列学习的主要部分，我们知道函数和数列有着密不可分的联系，从数列对应的角度来看，数列可以看成定义在正整数集或者其子集上的，当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。函数在高中数列中的应用，我们主要可以从函数的概念、性质、图像等方面来研究，我们可以直接利用函数的值域求字母取值范围、分离变量求字母的取值范围、均值不等式求字母的取值范围、运用函数单调性求最值、讨论大小等，可以有效地提高解题效率和流程，将函数思想巧妙地应用到高中数列的学习中去，让学生做到对函数思想和数列知识的完美融合，也可以更好地学习高中数学中的数列问题，学会用函数思想建立起数学知识间的联系，从而加深学生对数列知识的理解和对数列题型的解答。

例2：已知an=n3+yn，数列{an}为递增数列，求y的取值范围。

解析：因为{an}为递增数列，可以知道an+1-an＞0在n∈N＊中恒成立，所以我们可以推导出3n2+3n+y＞0对于一切n∈N＊恒成立，又可以得到y＞-3n2-3n-1对于一切n∈N＊恒成立，所以可以得到f（n）max=-3n2-3n-1，所以得到 y＞f（n）max。而我们知道 f（x）=3x2-3x-1在[1,+∞]上递减，所以f（n）max=f（1）=-7，即y=-7。

通过在数学教学中实践和对数列题型的分析，我们了解到函数思想的内涵，函数思想是非常重要的一种数学学习方法，对采用函数思想解答数列问题进行了说明，可以让学生学好数列，学会解决数学中遇到的问题，做到举一反三。探究到了数列学习的便捷方法，数列也是一种特殊的函数，将函数思想渗透和应用在高中数列中，运用函数的性质和数列的联系来学习和解决数学问题，能够更好地理解高中数列知识，简化数列解题流程，能够有效地培养学生的数学逻辑和思维，加强学生对数学知识的理解和掌握。