江西省南康中学 许钤川
纵观今年的高考数学全国Ⅰ卷试题,虽然知识点覆盖比较全面,但整体难度并不大,并无所谓的“偏题”“怪题”。大部分题目考查学生对知识的熟练程度,但第16题更多地考查了学生的逻辑推理能力和思维灵活性,检验考生数学核心素养的高低。其横向入口较宽,纵向难度较大,灵活性、综合性都很强。下文是笔者对这道试题解法的一点探究,意在抛砖引玉,切磋交流.
题目:已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是 。
分析:有些考生可能会想到三角函数的相关知识,想要化简合并,以求最值,但却失败。为什么失败?因为他们陷入了一种思维定势,认为这就是一个三角函数的题目,要用相关的三角函数知识去求解,结果深入不下去。而有些学生看出了端倪,这个题目只是借用了三角函数这样一个载体,或者说是一个障眼法。直接求导求解,最终成功。这个例子很好地告诉了我们“灵活”二字在高考当中的重要性。下面我们来说几种关于这道题的较为灵活的解决方法:
方法一:求导法
首先说的是常规求导法,即求出函数的导数,令导数为0,求出极值,极值与区间端点处的函数值进行比较,最大的就是最大值,最小的就是最小值。
解:因为f(x)的周期为2π,所以可以在一个周期[0,2π)内讨论。
方法二:均值不等式
均值不等式也是高中常用的方法,在这个题目中也可以使用。虽然比较难想到,但对于成绩较好或者参加过奥赛的学生来说也不失为一种好方法。
方法三:万能公式法
若熟悉万能公式,还可以用如下方法:
当 t=0 时,g(t)=0;
方法四:琴生不等式
如果学习了奥赛知识,了解了琴生不等式,用来做此题,也不失为一种很好的方法。
所以f(x)=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(π-2x)
综上,本题虽小,但入口宽,解法具有开放性、探究性,体现了新课程标准理念和教材的设计意图。简朴中显特色,平凡中见真谛。提高了考生的观察思辨能力,提升了本题的考查功能与选拔功能,很有开发价值,无疑是一道经典之作。