探讨中点模型，解读应用反思

季叶红

[摘  要] 数学模型是对数学研究对象的特征、结构、相关规律的高度概括，利用模型解析问题可以挖掘其中的隐含条件，快速构建解题思路，提升解题效率. 初中数学中存在三个与中点相关的定理模型：“三线合一”模型、中位线定理模型和斜边中线模型，文章对其加以解读，结合实例探讨应用，并提出相应的教学建议.

[关键词] 中点;数学模型;中位线;三线合一

中点，即把一条线段平分为两条等长线段的点，是几何常见特殊点之一，在平面几何中经常出现一些与中点相关的问题，解析时若能灵活运用中点来添加辅助线构造相应的模型，往往可以达到良好的解题效果，下面对其中常用的几个几何中点模型加以探究.

關于中点模型的探究

1. “三线合一”模型

“三线合一”指的是等腰三角形中顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合为一条线，利用“三线合一”的性质可以在已知一条线的情形下互推其他性质，因此对于一些涉及等腰三角形底边中点的问题，可以考虑结合“三线合一”性质来构建相应的模型.

模型解读：如图1所示，点D是等腰三角形ABC底边BC上的中点，此时可以连接AD，根据“三线合一”的性质可得：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，BD=CD.

例1如图2所示，点P和点D是△ABC底边BC上的点，已知AB=AC，BD=DC，连接PA，试证明：PA2=AB2-PB·PC.

[图2]

证明：已知AB=AC，BD=DC，则△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上的中点，连接AD，如图2所示，根据“三线合一”性质可知AD⊥BC，则△ABD和△APD均为直角三角形. 在Rt△ABD中使用勾股定理可得：AB2=BD2+AD2，在Rt△APD中使用股定理可得：PA2=PD2+AD2，将上述两式互减可得AB2-PA2=BD2+AD2-（PD2+AD2），即AB2-PA2=BD2-PD2=（BD-PD）（BD+PD）=PB（BD+PD），所以AB2-PA2=PB·PC，即PA2=AB2-PB·PC，得证.

评析  上述题目要求证明关于线段长之间的关系，初中阶段在几何图形中构建线段长关系一般有两种策略：一是在直角三角形中利用勾股定理，二是在相似三角形中利用相似三角形边的比例性质. 而分析题干信息显然可以得出等腰三角形和其底边上的中点，因此可以借助中点来构建“三线合一”模型，在模型中利用勾股定理来推理.

2. 中位线定理模型

中位线指的是三角形中任意两边中点的连线，利用其定理可推理出两个关键条件：①中位线与三角形的第三边相平行，②中位线是第三边长的一半. 而上述推理条件可进一步推理三角形相似及线段长关系，因此对于平面几何中出现多条边的中点或中点位于平行线上的问题，可以考虑构建中位线定理模型.

模型解读：如图3所示，点D和点E分别为三角形两边AB和AC的中点，连接DE后，根据中位线定理可得DE∥BC，DE=BC. 利用其中的两线平行可进一步推理出△ADE与△ABC相似，根据三角形相似则可以获得相关线段长的比例关系：===.

例2如图4所示的四边形ABCD中，AB=CD，点M和N分别为AD和BC边上的中点，点P和Q分别为对角线BD和AC上的中点. 试证明：MN和PQ相互垂直且平分.

分析：MN和PQ分别是依托四点M，N，P和Q构建的，因此可以四点为顶点构建四边形. 若MN和PQ相互垂直且平分，则可知该四边形为菱形，因此可以将问题转换为求证四边形MNPQ为菱形，其中涉及众多边上的中点，可以考虑构建中位线定理模型.

证明：连接MP，PN，NQ，QM，如图5所示，已知点M和P分别为AD和BD边上的中点，则MP为△ABD的中位线，所以MP∥AB且MP=AB，同理可得NQ∥AB且NQ=AB，则有MP∥NQ且MP=NQ，所以四边形MPNQ为平行四边形.

而点P和N分别为对角线BD和AC上的中点，则PN为△BCD的中位线，可知PN=CD，所以有PN=PM，所以平行四边形MPNQ为菱形，根据菱形的性质可知MN和PQ相互垂直且平分，得证.

评析  上述同样是已知平面几何中的中点，其特殊之处在于所给的中点个数较多，因此自然可以联想到利用中点构建中位线定理模型. 解析时由问题出发则可以将其转化为求证四边形为菱形，因此解题关键就是在中位线定理模型中分析两线平行及线段相等，显然与中位线的定理相吻合.

3. 斜边中线模型

对于一般三角形而言，斜边上的中线没有任何特殊之处，但对于直角三角形则较例外，即直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，利用该特性可以构建相应的等腰三角形，获得等边和等角等关系. 因此在解析直角三角形问题时，若已知斜边上的一点，则可以考虑构建斜边中线模型，利模型来解决两类问题： ①证明等长线段或求解线段长，②构建等角关系，实现等角代换.

模型解读：如图6所示，在△ABC中，∠C=90°，点D为斜边AB上的中点，连接CD后可得出CD=AD=BD=AB，即△ADC和△DCB均为等腰三角形.

构造直角三角形

斜边上的中线]

例3  如图7所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，与AB相交于点E. 若AB=5，试求DE的长度.

[图7]

解析：由DE∥AC可知∠EDA=∠DAC，由AD是∠BAC的角平分线可知∠EAD=∠DAC，所以∠EDA=∠EAD，所以EA=ED，结合BD⊥AD可知点E是Rt△ABD斜边AB上的中线，利用“直角三角形斜边中线定理”可得BE=ED=EA=AB=，所以DE的长度为.

评析  斜边中线模型是依托直角三角形构建的，因此在解析时需要首先确立直角三角形，上述虽然没有直接点明点E是AB的中点，但通过等角转化可以得出该结论. 需要注意的是直角三角形斜边中线定理存在逆定理——若三角形一边的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形，因此在解析时也可以利用逆定理构建直角三角形模型. 同样以上述问题为例，将其中的条件“BD⊥AD，垂足为点D”替换成“BE=ED”，试证明△ABD是以∠D为直角的直角三角形，其思路就为首先利用等角转换获得EA=ED，然后结合BE=ED构建BE=ED=EA=AB的关系，则利用斜边中线模型可以推理出∠ADB=90°.

关于中点模型的思考

上述所呈现的是利用线段中点构建的三大几何模型，通过对模型的解读构建了相应的解题思路，显然利用中点模型可以挖掘题目中的隐含条件，从而显著提高解题效率，下面对中点模型进行深入的思考，提出相应的教学建议.

1. 把握模型本质，挖掘模型内涵

数学模型是基于对客观事物的过程、现象所呈现的主要特征、关系的提取，用数学语言概括表述的一种结构，是通过对数学原型形式化所得到的. 例如上述三大中点模型分别是对等腰三角形、三角形内平行线和直角三角形相关边长特征的总结概括. 而在学习和总结模型时需要深刻理解模型的内涵，把握模型背后的本质内容. 实质上任何模型的构建均是依托相应的数学定理定义和相关性质，如本文所探究的中点模型，分别涉及了“三线合一”定理、中位线定理、直角三角形中的斜边中线定理，这些定理是模型构建的基础，也是核心所在. 因此在实际教学中需要教师结合具体的图形理解对应的几何定理，然后提取图形中的特征结构来建立数学模型.

2. 深入解读模型，构建应用思路

数学模型虽然是对问题原型的特征、关系的高度概括，但如果不能合理利用依然难以借助模型来构建相应的解题思路. 因此在学习模型时不仅需要理解定理背后的隐含知识，还需要对其中所涉及的知识内容加以解读，从而准确把握其中的知识关联，掌握应用模型分析问题、获取关键条件的思路. 例如上述所呈现的中位线定理模型在使用时，需要采用“识别中点→把握中位线→提取平行及线段关系→建立相似三角形”的解题思路，同时还需要掌握利用定理模型进行条件反推的思路，实现模型的双向利用，最大化发挥模型的价值.

3. 领悟模型思想，提升數学思维

学习模型不仅需要掌握模型背后的知识定理及解题思路，更为关键的一点是感受数学模型背后的数学思想，即构造思想、模型思想和数形结合思想. 这些思想不仅是数学模型构建的思想基础，还是利用数学模型解析问题的核心所在，是构建解题思路的指导思想. 因此在教学数学模型时，需要教师适度渗透数学思想，让学生经历模型构建的过程，逐步感知其中的思想方法，从思想上培养学生的模型意识，提升学生的数学思维.

总之，在初中数学中包含有众多的数学模型，上述所呈现的中点模型只是其中的一类，在教学时需要使学生深刻领悟其中的内涵，掌握模型适用的范围及对应思路，逐步提升学生使用模型解题的灵活性，促进学生的思维发展.