根植缄默知识，指向学生数学学习的深度体验

李炜玟

摘 要：数学充斥着许多“缄默性知识”，这些缄默性知识需要学生深度体验。在数学教学中，教师可以创设情境、组织活动、引导反思，让学生数学学习从感性过渡到知性，从知性上升到理性。让缄默性知识清晰化、显性化，积淀、固化为学生个体性经验，从而不断提升学生的数学“核心素养”。

关键词：缄默知识；数学学习；深度体验

美国大卫·库伯教授在产生全球影响的《体验学习》一书中提出了“让体验成为学习和发展源泉”的教学主张。他认为，“学习是一种基于精心设计的体验的社会化过程”，这是对传统的“教学即传递”观念的挑战。在库伯看来，体验不仅是拓展训练、主题冒险等学习需要，更是学生课堂学习参与的重要机制。数学充斥着许多“缄默性知识”（波兰尼语），因此需要学生的深度体验。当下数学教学，学生并不缺少肤浅而零碎的体验，关键是让学生数学学习体验走向深刻、丰富，走向结构化、系统化，也就是有意识地将学生导向深度学习体验。

一、情境体验，构建“感性课堂”

1. 生活化情境，点燃体验激情

人民教育家陶行知先生一直倡导“教学做合一”，在他看来，离开生活的教育教学是一种机械的教育教学，数学教学的根基也是生活。在数学教学中，教师应当激发学生学习兴趣，点燃学生体验激情，以数学本体价值引发学生学习觉醒。比如，教学苏教版三年级上册的《间隔排列》，教师可以充分运用学生生活中的原型，创设生活化情境，引导学生进行生活化感知。譬如“夹子与手帕”“兔子与蘑菇”“篱笆与木桩”，激发学生数学猜想：谁比谁多1，谁比谁少1。让学生通过操作、画图等活动展开验证，学生从“物的感知”过渡到“形的抽象”。借助符号表征，让学生从“形的抽象”过渡到“模的建构”——“┃○┃○┃○……┃○┃”。通过数学模型进行生活化运用。学生在情境中体验，在格物中致知。知行合一，点燃对数学知识体验的激情。

2. 故事化情境，激发体验兴趣

作为一种教学手段，故事化情境具有天然的魅力。学生天生爱听故事，用故事化情境来引导学生判断，启发学生顿悟，效果非常好。故事化情境，可以激发学生学习兴趣，活跃数学课堂气氛，开拓学生思维。比如，一位教师教学苏教版五年级上册的《解决问题的策略——“一一列举”》，用“田忌赛马”的故事激发学生对“策略”的兴趣，引发学生主动探究。学生运用分类法，有序列举六种赛马对阵方式解决问题。这个过程，有学生是借助文字表达的，有学生是借助图形表达的，还有学生是借助符号表达的……无论哪一种表达方式，都隐含着“一一对应”的数学思想。故事化情境，将学生带入一个体验情境之中。学生咬文嚼字，数学方法在推敲中成型；学生圈画，数学思考在创意中激发；学生说写，数学思想在交流中提升。

3. 视听化情境，渲染体验氛围

在数学教学中，教师可以借助现代信息技术媒体创设视听化情境，渲染学生体验氛围。当下，平板、触摸屏等现代技术媒体已经走入了数学课堂。借助视听媒体进行教学，能够让学生友善用脑、和谐用脑、健康用脑，促进学生数学学习的深度体验。比如，一位教师执教苏教版二年级下册《时、分、秒》一课，运用ipad，巧妙地将“钟面”和“飞行棋”糅合在一起，设计出一种“特殊的飞行棋”：学生掷骰子，按照骰子点数在ipad上操作，如果走得不正确，棋子回到原位。在“玩骰子”的过程中，学生认识了钟面有12大格、60小格。接着，教师在“特殊飞行棋”的中心添上两根针，再添上12个数，这种“特殊飞行棋”就演变成“钟面”，由此揭示课题。视听化情境让学生在“玩中学”、在“学中玩”，形成了对钟面的深度体验、认识，实现了学生数学认知、情感体验及意志表现的有机统一。

二、活动体验，构建“知性课堂”

1. 直观性活动，丰盈学生体验

所谓“直观性活动”，是指借助数学学具或者教具、画图等直观手段，让数学知识可视化，让学生思维可视化的活动。德国哲学家康德曾经这样说，“概念无直观则盲，直观无概念则空”。叔本华也认为，“一切知识的根源不在理性本身，而是从别的方面获得的直观认识沉淀于理性之中，直观是一切真理的源泉，是一切科学的基础”。数学直观性活动，有助于丰盈学生数学学习体验，能够体现数学本质。比如，教学苏教版五年级下册《因数和倍数》，对于例题2“找36的因数”，教师就可以借助数轴，将36的因数直观展示出来，学生就能直观掌握因数的找寻方法，即有顺序地、一对一对地找。如此，学生就能通过直观性活动掌握数学知识的本质，领悟数学思想和方法，并逐步走向深刻、智慧。

2. 探究性活动，催生学生体验

瑞士心理学家皮亚杰认为，数学知识是学生在自己生活经验基础上主动建构的。在数学教学中，教师有必要引导学生展开探究性活动，催生学生学习的切身体验。只有学生通过自主探究而获得的知识，才能入脑入心、珍藏永久、永不褪色。比如，教学苏教版四年级上册《角的度量》，直接出示量角器，告知测量方法，这不是教学；出示量角器，引导学生探究怎样测量，这就有点教学味；而如果让学生经历量角器工具的创生过程，这才是真正的教学。江苏省著名特级教师强震球执教时，就让学生从“角的大小比较”过渡到用单位小角去测量，再生发出“1°小角”，最后将这些1°小角串联起来，生成了一个“量角器雏形”。这样的探究性活动，能够催生学生数学学习体验，引发学生数学发现。学生不仅能够认识到量角器的结构，更对量角形成了深度理解，即“角的大小就是角包含多少个单位小角”的本质认知。

3. 实践性活动，发展学生体验

学生全部的学习过程在本质上是实践的，实践性活动是学生数学学习的方式。学生因实践活动而体验，因深刻体验而感悟。实践活动能够融学生的感知、记忆、思维、想象、操作、表达等于一体。实践活动不是学生机械模仿性的活动，也不是被活动，而是积极主动的建构过程，是发展学生数学素养的重要方式。比如，教学苏教版三年级下册《吨的认识》，为了形成学生“吨”的表象，笔者设计了丰富的實践性活动，诱发学生积极主动地参与到数学探索活动中来。（1）拎，拎25千克的一袋大米，说说拎的感受，并推想40袋25千克大米的质量，初步形成“1吨有多重”的感受。（2）听，听全班学生齐跳落地的声音，巩固学生建立“30名同学齐跳”的感受。（3）看，运用多媒体课件展示集装箱、微型汽车等，建立“1吨”的概念表象。学生在口耳心手的协同活动中生成了丰富而深刻的体验。

三、反思体验，构建“理性课堂”

1. 刨根问底，形成源流体验

研究者认为，“认识、理解缄默知识的关键就是让它们‘显性化，从而加以检讨、修正或应用”。在数学教学中，教师要引导学生反思，让学生对数学形成理性认识，进而改善学生对缄默知识正面功能体验不够或者对负面影响缺乏警惕的问题。通过对知识形成过程进行刨根究底的追问，可以深化学生源流体验。比如，教学苏教版五年级下册《圆的面积》，教材只提供了将圆转化成近似长方形的方法。为此，笔者引导学生进行源流性反思：推导平行四边形的面积怎样转化？推导三角形、梯形的面积怎样转化？推导圆的面积还可以怎样转化？这样的刨根究底，能给学生更多的启示。这些图形面积推导的转化都有怎样的共同点？如此，给学有余力的学生提供更多的营养。

2. 归纳性反思，生成结构体验

在数学教学中，教师不仅要引导学生对数学知识进行追本溯源的反思，还要引导学生进行归纳性反思，将零散的数学知识珠子串起来，形成知识串，勾连成知识网。归纳性反思能够深化学生的结构体验。比如，教学苏教版一年级下册《100以内的加法和减法》，对于竖式计算如13+16，教师要让学生不断归纳，13是1个十和3个一，16是1个十和6个一，将13和16合起来，就是将1个十和1个十合起来，将3个一和6个一合起来，一共是2个十和9个一，也就是29。归纳有助于学生形成“计数单位相同才能相加减”的加减法计算感悟。这种感悟对学生学习整数加减法、小数加减法和分数加减法都有着积极的迁移性功用。一般来说，一个核心观念的概括程度越高，其可迁移的范圍就越大，也越能形成学生的结构体验。

3. 批判性反思，诞生创造体验

缄默知识对学生而言是一个极具生发性和动力性的概念。在体验性课堂上，教师允许学生提出“异议”，以“异议”诱发学生的质疑、批判，激起学生广泛而深入的数学交流。学生围绕数学知识的本质进行理性分析、批判分析，进而消除片面认识，形成科学、合理的认识，生成创造体验。比如，教学苏教版六年级上册《分数除以整数》中的例题1：量杯中有五分之四升果汁，平均分给2个小朋友喝，每人喝多少升？在学生运用多种方法（如将分数化成小数、利用平均分的意义、画图等）进行探究后，笔者让学生对彼此的算法进行评价，学生展开批判性反思。有学生认为转化成小数计算具有局限性，因为并不是任何分数都能化成有限小数；有学生认为，画图尽管直观，但画图很麻烦；有学生认为，利用平均分的意义可行，但如果不是平均分给2个小朋友喝，而是平均分给3个小朋友喝，就不好操作了；有学生认为，还是将分数除法转化成分数乘法的方法具有普遍性；还有学生认为，这些方法都可以，只不过需要根据算式的特点灵活运用……批判性反思，没有给学生提供“万全之策”，而是帮助学生形成了“应变之策”。这样的教学有助于克服学生数学学习刻板化、机械化倾向。

大量的数学缄默性知识有时是难以言说的，需要学生在数学学习中进行深度体验。情境、活动与反思，能够构建学生数学学习的“感性课堂”“知性课堂”和“理性课堂”。从感性到知性再到理性，模糊、零散的数学缄默性知识逐渐清晰化、结构化、显性化。当数学缄默性知识显性化，积淀、固化为学生的个体性经验时，学生的数学素养便会随之提升，这就是根植缄默知识，促进学生深度体验所追求的目的！