多元表征，赋予学生数学思维自然生长的力量

程启亮

摘 要：“表征”是对事物本质的揭示、阐明。学生的学习表征样式是丰富的，有直观动作表征、具体形象表征和抽象符号表征等。在数学教学中，教师要对数学素材进行多元化呈现，引导学生对数学知识进行多元化勾连，让学生的数学思维进行多元化外显。多元表征不仅能够让学生掌握数学知识的本质，而且能让学生把握数学知识的结构。

关键词：多元表征；数学思维；自然生长

多元智能理论以及认知风格理论认为，教学应该采用多元方式表征同一个学习对象，以便学生可以选择自己擅长、喜爱的方式，构建自我表征系统，促进知识意义的内化。美国著名教育心理学家莱什认为，“学生习得一个概念必须具备三个条件：一是将数学概念放置于表征系统之中；二是在表征系统中恰当地处理概念；三是将概念放在不同表征系统中进行转换”。善于对数学概念、定理、问题进行多元表征，是学生深刻、全面理解数学知识，灵活、独到解决数学问题的关键。多元表征，能够赋予学生数学思维自然生长的力量。

一、多元表征：内涵及其类型

所谓“表征”，《现代汉语词典》解释为“显示出来的现象，表现出来的特征”。《辞海》（2009年版）上对“表征”的阐释为：揭示；阐明。……也指事物显露在外的征象。作为动词，“表征”表示对事物本质的揭示和阐明；作为名词，“表征”表示事物显示出来的现象、特征。从心理学视角看，表征即知识或心理表征；从信息加工理论视角看，表征即是学生对外界信息输入、编码、转换、存储和提取。

美国教育心理学家布鲁纳认为，人类的学习主要有三种表征方式：一是直观动作表征；二是具体形象表征；三是抽象符号表征。美国心理学家卡帕特根据表征与被表征系统关系，将表征分为四种类型：一是认知表征；二是解释表征；三是内部表征；四是外部符号表征。美国心理学家葛登则认为，问题解决牵涉四种表征系统：一是自然语言系统；二是表象处理系统；三是符号操作系统；四是启发执行系统。

在数学教学中，多元表征主要有外部和内部表征两种。所谓“外部表征”，是指学生借助语言、文字、符号、具体物、图片等形式对学习对象存在的表征；所谓“内部表征”，是指学生加工数学的心理表征，包括言语表象、视觉表象、记忆表象、思维表象等。通常情况下，只有将外部表征转化成学生的内部表征，数学教学才能发挥应有的效用。

在数学教学中，教师以言语信息（主要包括口语、符号、图像、文字等）和非言语信息（主要包括图片、实物、模型等）将数學学习内容呈现给学生，经过学生的个体加工，将外部的言语或者非言语编码以多元表征形式纳入内部表征系统之中，形成学生的心象码。在这个过程中，学生能够完成信息的转换和意义的建构。

二、多元表征：策略及其路径

数学教学中通常会出现两方面误区：一是注重学生的动作表征，没有引导学生由直观操作表征向抽象符号表征过渡，学生停留于具体化阶段；二是关注数学知识抽象符号表征，而忽视或者轻视了学生直观操作或者具体形象表征，学生形式化根基不牢，过程不深刻。基于多元表征的数学教学，既要重视学生的抽象、形式表征，也要重视学生在学习过程中的感性操作。只有将多种表征融合起来，才能助推学生对数学知识的真正理解。

1. 多元化呈现，助推学生的数学理解

多元化呈现，既包括纵向多元化呈现，也包括横向多元化呈现。所谓“纵向多元化呈现”，是指教师可以分层次、逐步地引导学生抽象数学概念、数学知识。所谓“横向多元化呈现”，是指教师运用不同的方式，从不同的视角，运用不同的手段引导学生对数学概念、知识进行表征。经由多元化呈现，学生逐步剥离数学知识的非本质属性，获得对数学知识本质的理解。

比如，教学苏教版小学数学五年级下册的《分数的意义》，教师要呈现多种素材，比如一块饼、一根一米长的线段、几个正方形等，将其平均分成若干相同的份数，表示相同的份数，结果所表示的分数完全相同。尽管物体的种类不同、物体的个数不同，但由于将物体平均分成了相同的份数，表示了相同的份数，所以表示的分数就相同。接着，教师引导学生进行归纳，有学生认为将一个物体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数；有学生认为将许多物体组成的整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数；还有学生认为将一个计量单位平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫作分数。教师在学生分门别类概括的基础上，将一个物体、一个计量单位或者由许多物体组成的整体归结为单位“1”，形成抽象的分数概念。在这一过程中，不同素材的表征，就是一种横向多元化呈现，而对分数的逐步抽象、概括、形式化、定义化的过程就是纵向多元化呈现。

当然，数学学习的多元化呈现并非越多越好，而是应围绕数学本质展开。数学的材料之间应该能够相互映衬、相会补充、相互解释，做到形式不同但本质相同。只有这样，才能发挥多元化呈现应有的效用。否则，材料的多元化呈现反而会让学生眼花缭乱，失去材料多元化呈现的初衷。

2. 多元化勾连，构建学生的认知结构

数学知识是一个有机的结构性整体。在数学教学中，教师要引领学生对数学知识进行多元化勾连，构建学生的认知结构。对于同一知识，其知识表征可能是多元的，教师要引领学生在各种表征内部以及表征之间进行灵活转换。只有学生能够解读不同表征下的数学知识，才能灵活提取相关的数学知识进行实践运用。学生数学认知结构的系统构建是学生数学知识学习转识成智的关键，也是学生数学素养生成的重要标识。

比如，教学《解决问题的策略——“一一对应”》（苏教版小学数学教材五年级上册），有这样一道习题：用1、2、3、6可以组成多少个不相同的两位数？为了深化学生的数学理解，让学生形成“既不遗漏也不重复”的有序列举的思想方法，笔者将习题改为：用1、2、3可以组成多少个不相同的两位数。不同的学生用不同的方式进行思考，有学生固定个位，然后变换十位，如21、31，12、32，13、23；有学生固定十位，然后变换个位，如12、13，21、23，31、32；还有学生用组合交换位置法，如13、31；12、21；23、32。接着，笔者从两个维度，对这样的习题予以内涵拓展。一是从纵向上拓展，即在3个数的基础上，增加延伸到4个数、5个数，让学生运用相关的方法进行列举；二是从横向上拓展，即创设不同的情境，让学生体验，比如三个小朋友两两拍照、三个小朋友两两寄贺卡等。同时，将拍照、寄贺卡、握手、踢足球等相关的问题进行比较。这样的多元化勾连，其目的就是敏锐、深化学生的数学认知，让学生形成对数学知识的本质认识，构建、完善学生的认知结构。

数学多元化勾连，不仅丰富了数学知识的形成过程，更有助于学生从不同的视角对数学知识的内涵形成本质性理解，对数学知识的外延精准掌握。在多元化勾连的活动中，丰富学生的数学活动经验，提升学生的数学思想和方法，让学生完成对数学知识的本質建构。

3. 多元化外显，引发学生的思维可视

多元化表征不仅是对数学学习对象的内化表征，也包括将学生的心理图像进行多元化外化过程。学生的数学思维是看不见的，是一个“黑匣子”，一个“黑洞”。如何将学生看不见的思维可视化，让学生的内部言语外显化，一个重要的方式就是让学生进行自我学习表征。从表征内容上看，外显的丰富性能够让学生相互间切磋、交流；从表征方法上看，表征转换、转译有助于学生逻辑与非逻辑思维的互补；从表征过程上看，只有内化和外化相融合的表征，才能构成学生的生态学习循环系统。多元化外显，让学生的数学学习真正发生。

比如，教学《因数与倍数》（苏教版小学数学教材五年级下册），教材中是让学生用摆方格的方法来建构12是3的倍数、12是4的倍数，3是12的因数、4是12的因数的。诚然，这样能够让学生知道哪个数是哪个数的因数、哪个数是哪个数的倍数，但部分学生并没有深刻理解。因为，不同的学生对数学知识的表征是不同的，某些表征能够助推学生的数学理解，但某些表征却不能发挥其应有的效用。笔者在教学中从学生的已有知识经验入手，引导学生进行数学思考。“12是3的4倍，12是4的3倍，这是为什么呢？”于是，不同的学生基于各自的内部心理表征，形成了不同的外部表征。如有学生画出线段图，用几倍的关系进行解释；有学生画出集合图，用包含除的方法进行表征；有学生将12个圆圈均分，从平均除的角度进行解释；有学生认为4个3相加等于12，从乘法的意义角度进行解释；还有学生认为从12里面减去3，要减4次，从12里面减去4，要减3次，从除法的原始意义角度进行解释，等等。不同的解释呈现于同一个互动空间，引发学生的积极交流。如此，学生将自己的不可见的思维可视化，将不可言说的数学理解可感化，将抽象的数学概念具象化，从而达到了个性化理解、建构的目的。

外显表征有力地促进了学生数学知识的意义理解、建构，增强了学生数学观察能力、发现能力和问题解决能力、数学应用意识的发展，培育了学生综合性思维能力的发展，提升了学生的数学核心素养。在这个过程中，学生不仅感受到数学知识的现实性，而且能够体验到数学知识、方法和思想的应用性。

在数学多元表征过程中，一方面，教师要研究数学知识的特质；另一方面，教师要遵循学生的认知规律，引导学生经历数学知识的发现、探究历程。一个数学知识的表征是多元的，各种表征之间也存在着千丝万缕的关联。在数学教学中，教师要运用表征，引导学生既把握数学知识的本质，也把握数学知识的关联。只有这样，学生才能真正理解、把握数学知识。