高中数学中恒成立问题的解题方法和技巧

◎孙玘玥

前言：在高中数学中的恒成立问题，所包含的内容相对较广，其中不仅包含常见的函数，还存在一些变量，或者将数列、函数等知识进行结合，在很大程度上增加了解题的难度。简单来说，恒成立问题有着逻辑复杂、灵活多变的特征，可以将很多知识点融入其中，对高中生的综合能力进行全面考察。因此，采用适当的解题方法、技巧，是考试中学生应对恒成立问题的必要解题路径。

一、运用构造函数法解决数学中的恒成立问题

通过日常对知识的积累，求得最值的最佳解题方式就是完全平方公式，因此在面对恒成立问题时，可以将构造函数法运用在其中，进而实现解题的目的。在此基础上，我们可以通过二次函数所具备的图形性质，对题目中的最佳值进行准确判断。如果题目中包含一个以上的变量，就应该将恰当的参数、变量选择出来，以此来得出具体的关系式，实现变繁为简的解题目的。通常情况下，解题时需要将已经确定范围中的已知量，作为变量对未知范围的量进行求解。

例题1：已知 m∈［－2，2］且 m为任意值，2x－1＞m（x2－1）这一不等式成立，求x值的所属范围。

在解题的过程中，需要注意的时应该对这类题型进行详细的分析。根据笔者身边同学的情况发现，很多人会将这类题目的重点放在x的定位层面，导致题目复杂化［1］。因此，就应该根据题目，及时转变自己的思维方式，以m为变量并以x为参量，对题目中的不等式进行简化，最终就能够轻松地完成解题，并保证结算结果的准确性。

二、采用变量分离法解决数学中的恒成立问题

在高中数学的恒成立问题中，很多不等式中含有参数，此时就需要将其中的变量、参数进行分离，同时保证完成转化后的不等式一侧，可以实现函数范围、最值的求解，而这种解题技巧即为变量分离法。通过这样的解题方式，可以更好的运用函数知识对题目进行转化，降低恒成立问题的难度，并且提高可以在一定程度上提高解题的速度，便于对答题时间的合理控制。

例题2：假设函数 f（x）＝lg［1＋2x＋3x＋4x＋… ＋（n－1）x＋nxa］／n。其中，a∈R、而n∈N并且≥2。如果在x∈［－∞，1］的条件下，函数f（x）为有意义，请计算a的所属范围。

题目分析：因为当x∈［－∞，1］时函数f（x）有意义，所以在解题的过程中可以将上述问题进行转变，最后可以得出：在x∈［－∞，1］的条件下，［1＋2x＋3x＋4x＋… ＋（n－1）x＋nxa］／n＞0，同时 n∈N并且≥2。

在解答本题的过程中，题目中的x为重点“对象”，同时n表示常数，而a作为题目的参变量，所以就形成了最终的恒成立问题，此时高中生就可以根据函数定义域的相关知识进行解题。在含有参变量的恒成立问题中，如果题目与函数的单调性、值域、定义域等知识相关，常常就需要采用上述的方式完成解题。具体来说，在例题2的解题过程中，笔者所采用的变量分离法是解决恒成立问题的最基本方式，其主要就是通过变量分离的方式，使题目中的已知量、参变量实现分离，最终使其变为简单的参数，实现解题的目的。需要注意的是，同学们在解答这一类题目时，最重要的就是掌握题目的重点，使已知量、参变量得到准确的分离［2］。同时，在解题的过程中，还应该重视函数相关知识的运用，以此来保证解题结果的准确性。

结语：综上所述，对于众多的高中生来说，恒成立问题是其不愿面对的题型之一，主要就是其涉及的知识内容广泛，并且解题难度较高。所以，在解题中就需要将构造函数法、变量分离法等方法技巧，合理的应用其中，以此来实现解答的目的。结合本文的分析发现，将构造函数法、变量分离法，运用在高中数学中的恒成立问题中，其可以降低解题的难度，并提高解题的实际效率，说明其具有较强的可行性。