空间点、线、面之间的位置关系导学

■张舜耕

一、学习目标

(一)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可作为推理依据的公理和定理

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

(二)以上述公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、线面垂直的有关性质与判定定理

1.理解以下判定定理。

(1)如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行。

(2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行。

(3)如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直。

(4)如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直。

2.理解以下性质定理,并能够证明。

(1)如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行。

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行。

(4)如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

二、知识讲解

(一)空间点、线、面之间的位置关系

空间点、线、面之间的位置关系主要体现在立体几何的四个公理,其中两条异面直线所成的角是重点,同学们在学习时应注意把握以下两点:

1.平面是基础的几何概念之一,刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题及进行逻辑推理的基础。公理1是判定直线是否在平面内的依据;公理2给出了确定一个平面的依据;公理3是判定两个平面交线位置的依据;公理4表明了平行线的传递性(三条直线可以不在同一平面内),可以作为判断空间两条直线平行的依据,同时它还给出了空间两条直线平行的一种证法,其重要作用是证明等角定理。

2.与异面直线相关的概念是异面直线所成的角及两条异面直线互相垂直,要注意的是异面直线所成的角的范围是(0°,90°]。

例1 设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题错误的是( )。

A.若a⊥α,b⊥a,则b∥α

B.若α∥β,α⊥γ,则β⊥γ

C.若a∥b,a⊥α,则b⊥α

D.若α∥γ,β∥γ,则α∥β

解：A项有可能b⊂α,此项错误;B项命题可叙述为“若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,那么另一个平面也垂直于第三个平面”,此项正确;C项命题可叙述为“若两条平行线中有一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”,此项正确;D项命题可叙述为“平行于同一个平面的两个平面平行”,此项正确。故选A。

评注:本题考查了对空间点、线、面之间的位置关系的理论推导,同时也考查了对文字语言和符号语言之间的转化与利用能力,以及灵活选择不同的信息条件进行信息处理与分析的能力。依据问题特点,采用取特殊几何体、间接排除等方法,是快速解答立体几何选择题和填空题的首选方法。

例2 已知一个正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为,则这个正六棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是____。

解：(图略)连接E1F,则E1F∥BC1,所以此正六棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角即为∠DE1F。在△EDF中,过E作EH⊥DF,垂足为H,则EH=所以。又因为E1D=E1F=EF2+E1E2=,所以△E1DF为正三角形,所以此正六棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是60°。

评注:求两条异面直线所成的角的解题思路是把空间两条异面直线通过平移,转化为平面内两条相交直线所成的角来解答,其中平移是求角的关键。

(二)空间线、面平行的判断与证明

空间线、面平行的判定和性质定理共有四个,同学们一定要牢记,并在训练中逐步加深对它们的理解,做到应用准确、转化灵活。空间直线和直线平行、直线和平面平行、平面和平面平行,三者之间有着互为因果、密不可分的相互转化关系,因此,在判定空间线、面平行时,不可孤立地对待,要将三者联系起来,由其中的任何一种位置关系都要能自然地联想到另外两种位置关系。

例3 设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个条件是( )。

A.m∥β且l1∥α

B.m∥l1且n∥l2

C.m∥β且n∥β

D.m∥β且n∥l2

解：当α∩β=l且m∥l,l1∥l时,满足m∥β且l1∥α,排除A项;由m∥l1且n∥l2,得l1∥α,l2∥α,再由平面和平面平行的判定定理可知B项正确;当m∥n时,不一定推出α∥β,C项错误;当m∥n∥l2时,m∥β,但推不出α∥β,D项错误。故选B。

评注:本题考查了对空间线、面平行的判断及理论推导。通过判断命题的正误考查空间线、面平行关系是一种常见的题型,判断时主要依据平行关系的定义、判定定理等,列举正反例来判断也是一种十分有效的方法。

例4 如图1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点。

图1

(1)求证:B,C,H,G四点共面。

(2)求证:平面EFA1∥平面BCHG。

证明：(1)因为GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1。又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC。所以B,C,H,G四点共面。

(2)因为E,F分别为AB,AC的中点,所以EF∥BC。因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG。因为A1G∥EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB。因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG。又因为A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG。

评注:空间线、面平行的证明是高考的热点题型,往往是以多面体(棱柱、棱锥等)为载体进行考查的。解决这类问题时,应熟练掌握空间线、面平行的判定定理与性质定理,掌握常见题型的证明方法,善于作出恰当的辅助线。同时要树立一种数学思想,即转化思想。

(三)空间线、面垂直的判断与证明

空间线、面垂直的判定和性质定理也有四个,大家要注意它们和空间线、面平行的四个定理的区别与联系。解答空间线、面垂直的问题时,常常可以利用身边的物体列举正反例来判断,如教室是六面体,纸是平面,笔是直线,将纸对折是二面角等。

例5 下列命题中为真命题的是( )。

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直;③垂直于同一条直线的两条直线平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。

A.①和② B.②和③

C.③和④ D.②和④

解：对于①,只有这两条直线相交时才满足条件,①错误;由面面垂直的判定定理可知②正确;垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交,也可能异面,③错误;对于④,若这条直线与另一个平面垂直,则它垂直于平面内的所有直线,也就与交线垂直,这与题设矛盾,④正确。故选D。

评注:通过判定命题的正误考查空间线、面之间的位置关系是一种常见的题型,直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理是判定直线、平面垂直的主要依据。本题考查了对空间线、面垂直(平行)的空间想象能力及理论推导,准确掌握定理所满足的条件是判断的基础和关键。同时,取特殊几何体、反例排除、反证推断等,也是解答这类判断题的有效方法。

例6 如图2,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M是EA的中点。

图2

(1)求证:DE=DA。

(2)求证:平面BDM⊥平面ECA。

解：(1)如图2,取EC的中点F,连接DF。因为EC⊥平面ABC,BD∥CE,得DB⊥平面ABC,所以DB⊥AB,EC⊥BC。因为BD∥CF,BD=CE=CF,所以四边形FCBD是矩形,DF⊥EC。又因为BA=BC=DF,所以Rt△DEFRt△ADB,所以DE=DA。

(2)取AC的中点N,连接MN、NB。因为M是EA的中点,所以MNEC。由BDEC,BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DM⊥MN。因为DE=DA,M是EA的中点,所以DM⊥EA。又因为EA∩MN=M,所以DM⊥平面ECA。而DM⊂平面BDM,故平面BDM⊥平面ECA。

评注:空间线、面垂直的证明也是高考的热点题型,往往是以多面体(棱柱、棱锥等)为载体进行考查的。解决这类问题时,应熟练掌握垂直的判定定理与性质定理,掌握常见题型的证明方法,善于作出恰当的辅助线。同时要树立和强化一种数学思想,即转化思想。转化思想是解答立体几何问题时运用最多的数学思想,证明垂直就是线线、线面、面面垂直之间的转化,由低维垂直证明高维垂直往往用判定定理,反之用性质定理。

(四)空间点、线、面之间的位置关系中开放性、存在性命题

一般地,我们把虽给出明确条件但结论不确定,或虽给出了明确结论但条件不足或未知,或条件和结论均不明确的一类问题称为探索性问题。这类问题形式新颖、解法别致,能很好地考查同学们的观察、分析、比较、概括和创新能力,是近年来高考命题的热点题型。

例7 如图3,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,侧棱PA⊥底面ABCD。

图3

(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证明你的结论。

(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PM⊥DM。

(3)若在BC边上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围。

解：(1)当a=2时,BD⊥平面PAC。证明如下:当a=2时,ABCD为正方形,所以BD⊥AC。因为PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA。又因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC。

(2)当a=4时,取BC边的中点为M,AD边的中点为N,连接AM、DM、MN。此时ABMN和DCMN 都是正方形,所以∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,即DM⊥AM。又因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥MD,且PA,AM是平面PAM内的相交直线,则PM⊥DM。故当a=4时,BC边的中点M使得PM⊥DM。

(3)设M是BC边上符合题设的点。因为PA⊥底面ABCD,PM⊥DM,所以DM⊥AM。因此,点M是以AD为直径的圆和BC边相切的一个公共点,则AD≥2AB,即a≥4为所求。

评注:本题考查了线与线、线与面垂直的证明,其中以动点运动变化作为探索条件,考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。

三、跟踪练习

1.设a,b是异面直线,则下列命题正确的是( )。

A.过不在a,b上的任一点,可作一条直线和a,b都相交

B.过不在a,b上的任一点,可作一个平面和a,b都平行

C.过不在a,b上的任一点,可作一个平面和a,b都垂直

D.过不在a,b上的任一点,可作一条直线和a,b都垂直

2.如图4,已知E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1和CC1上的点,且AE=C1F。求证:四边形EBFD1是平行四边形。

图4

参考答案

1.提示:如图5,以正方体 ABCDA1B1C1D1中两条异面直线A1C1和BD为例,检验四个选项的正确性。设A1C1对应直线a,BD对应直线b,点P是上底面直线a外的任一点。A项,假设过点P的直线和a相交,则这条直线一定在上底面内,它无法和b相交,此项错误;B项,假设过点P可作一个平面与a,b都平行,则这个平面和A1C1,B1D1都平行,即和上底面平行,这显然不可能,此项错误;C项,因为垂直于同一个平面的两条直线平行,这与a,b是异面直线矛盾,此项错误;D项,可过a上任一点作b的平行线b",则a和b"可确定一个平面,则过不在a,b上的任一点的垂直于这个平面的直线和a,b都垂直,此项正确。故选D。

图5

2.提示:如图4,在棱DD1上作DG=AE,连接CG,EG,因为DG∥AE,所以四边形AEGD是平行四边形,则EGADC,所以四边形EGCB是平行四边形,从而CGBE。同理可证CGD1,所以BEFD1,所以四边形EBFD1是平行四边形。