点、直线、平面之间的位置关系常见典型考题赏析

■王立超

点、直线、平面之间的位置关系是立体几何的重要知识,也是高考的常考知识。下面主要介绍空间中的点、直线、平面之间的位置关系的典型例题的解题思想与方法,供大家学习与参考。

题型一：平面的基本性质及应用

点线共面问题的两种证明方法:①纳入平面法,即先确定一个平面,再证有关点线在此平面内。②辅助平面法,即先证有关点线确定平面α,再证其余点线确定平面β,最后证明平面α,β重合。证明多线共点问题,常用的方法是先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上,证交点在第三条直线上时,第三条直线应为前两条直线所在平面的交线。

例1 如图1所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点。求证:D1,H,O三点共线。

图1

证明：因为BB1DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形。又H∈B1D,B1D⊂平面BB1D1D,则H∈平面BB1D1D。

因为平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,所以H∈OD1,即D1,H,O三点共线。

跟踪训练1：如图2所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点。

图2

求证:(1)E,C,D1,F四点共面。

(2)CE,D1F,DA三线共点。

提示：(1)连接EF,CD1,A1B。因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥BA1。又A1B∥D1C,所以EF∥CD1。所以E,C,D1,F四点共面。

(2)因为EF∥CD1,EF＜CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P。

由P∈CE,CE⊂平面ABCD,可得P∈平面ABCD。同理可得P∈平面ADD1A1。

又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA,可知CE,D1F,DA三线共点。

题型二：异面直线所成的角

用平移法求异面直线所成的角的三步法:一作,即根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;二证,即证明作出的角是异面直线所成的角;三求,即解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角。

例2 如图3,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )。

图3

解：由题意可得BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角。由AB=1,AA1=2,易得A1C1=,A1B=即异面直线AB与AD所成角的余弦11值。应选D。

跟踪训练2：直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )。

A.30° B.45°

C.60° D.90°

提示：如图4,延长CA到点D,使得AD=AC,则四边形ADA1C1为平行四边形,所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角。又A1D=A1B=DB,所以△A1DB为等边三角形,所以∠DA1B=60°。应选C。

图4

题型三：垂直关系的基本问题

垂直关系的基本问题包括线线垂直、线面垂直、面面垂直问题。证明直线与平面垂直的常用方法:①利用判定定理。②利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)。③利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β)。④利用面面垂直的性质,即当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。判断面面垂直的方法:①利用面面垂直的定义。②利用面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)。

例3 已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )。

A.α⊥β,且m⊂α

B.m∥n,且n⊥β

C.α⊥β,且m∥α

D.m⊥n,且n∥β

解：因为α⊥β,m⊂α,则m,β的位置关系不确定,即可能平行、相交或m在β面内,A错误。由线面垂直的性质定理可知B正确。若α⊥β,m∥α,则m,β的位置关系不确定,C错误。若m⊥n,n∥β,则m,β的位置关系也不确定,D错误。应选B。

跟踪训练3：已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,α∩β=c。

①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;

②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;

③若a∥b,则必有a∥c;

④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β。

其中正确命题的个数是( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

提示：若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交,①正确。当α⊥β时,若b⊥c,则b⊥平面α,此时不论a,c是否垂直,均有a⊥b,②错误。当a∥b时,则a∥平面β,由线面平行的性质定理可得a∥c,③正确。若b∥c,则当a⊥b,a⊥c时,a与平面β不一定垂直,此时平面α与平面β也不一定垂直,④错误。应选C。

题型四：等体积法求点到平面之间的距离

用等体积法求点到平面之间的距离时,通过变换顶点和底面,转化为底面和高都易求的锥体体积。

例4 如图5,在直三棱柱ABC-DEF中,底面ABC的棱AB⊥BC,且AB=BC=2。点G,H在侧棱CF上,且CH=HG=GF=1。

图5

(1)证明:EH⊥平面ABG。

(2)求点C到平面ABG的距离。

解：证明直线与平面垂直,只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可;等体积法是求点到平面之间距离的常用方法。

(1)因为ABC-DEF是直三棱柱,所以FC⊥平面ABC。而AB⊂平面ABC,所以FC⊥AB。因为AB⊥BC,BC∩FC=C,所以AB⊥平面BCFE。又因为EH⊂平面BCFE,所以AB⊥EH。

由题设知△EFH与△BCG均为直角三角形,因为EF=2=FH,BC=2=CG,所以∠EHF=45°,∠BGC=45°。设BG∩EH=P,则∠GPH=90°,即EH⊥BG。

又因为AB∩BG=B,所以EH⊥平面ABG。

因为CG⊥平面ABC,所以VG-ABC=×

跟踪训练4：如图6,已知三棱锥A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1。

图6

(1)求证:平面ABC⊥平面ACD。

(2)若E为AB的中点,求点A到平面CED的距离。

提示：(1)因为AD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AD⊥BC。又因为AC⊥BC,AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD。由BC⊂平面ABC,可知平面ABC⊥平面ACD。

由(1)知BC⊥平面ACD,所以点E到平面ACD的距离为1,且

题型五：立体几何中的存在性问题

对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设。

例5 如图7,在四棱锥P-ABCD中,△PAD为正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB=2AD=4。

图7

(1)求证:平面PCD⊥平面PAD。

(2)求三棱锥P-ABC的体积。

(3)在棱PC上是否存在点E,使得BE∥平面PAD?若存在,请确定点E的位置并证明;若不存在,请说明理由。

解：(1)因为AB∥CD,AB⊥AD,所以CD⊥AD。

因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面PAD。

又因为CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD。

(2)取AD的中点为O。因为△PAD为正三角形,所以PO⊥AD。

因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P-ABC的高。

因为△PAD为正三角形,CD=2AB=2AD=4,所以PO=3。

(3)在棱PC上存在点E,当E为PC的中点时,BE∥平面PAD。证明如下:

取CP,CD的中点分别为E,F,所以EF∥PD。

因为AB∥CD,CD=2AB,所以AB∥FD,AB=FD,可知四边形ABFD为平行四边形,所以BF∥AD。

因为BF∩EF=F,AD∩PD=D,所以平面BEF∥平面PAD。

因为BE⊂平面BEF,所以BE∥平面PAD。

跟踪训练5：如图8,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,DC∥AB,PA=1,AB=2,PD=BC=2。

图8

(1)求证:平面PAD⊥平面PCD。

(2)试在棱PB上确定一点E,使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积比为2∶1。

提示：(1)因为AD⊥AB,DC∥AB,所以DC⊥AD。

因为PA⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以DC⊥PA。

因为AD∩PA=A,AD、PA⊂平面PAD,所以DC⊥平面PAD。

又因为DC⊂平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD。

(2)作EF⊥AB于点F。因为在△ABP中,PA⊥AB,所以EF∥PA,所以EF⊥平面ABCD。

由AD=1,AB=2,BC=2,易得CD=1,所以V四棱锥P-ABCD

由VPDCEA∶V三棱锥E-ACB=2∶1,可 得∶h=2∶1,解得h=,所以E=PA,可知E为PB的中点。