Jurkevich方法的误差分析

杨海燕，李孝攀，党兴菊

（昭通学院，物理与信息工程学院，云南 昭通 657000）

0 引言

为分析部分活动星系核可能存在的周期性光变，天文学家们提出了一些可行的周期分析算法。这些算法都充分考虑了天文观测数据非均匀、大误差的特点。例如：Jurkevich于1971年提出的一种专门用于分析非等间距数据的期望均方误差统计方法(Jurkevich方法)[1]；Scargle于1981年在Lomb算法[2]基础上提出的著名的Lomb-Scargle(LS)周期图法[3]。Stellingwerf于1978年提出的状态弥散最小化算法(Phase Dispersion Minimization,PDM)算法[4]；，Ferraz-Mello于1981年提出的时间补偿离散傅里叶变换(Date-compensated Discrete Fourier Transform, DCDFT)算 法[5]；Simonetti于1985年提出的结构函数（Structure Functions, SF）法[6]；Edelson 和 Krolik于1988年提出的离散相关函 数 (Discrete Correlation Function, DCF)算 法[7]；Alexander于1997年对DCF算法进行了改进和发展，得到的Z变换离散相关函数(Z-transformed Discrete Correlation Function, ZDCF)算法[8]。Foster于1996年提出的对非平稳信号分析有独特的优势的加权小波Z变换(Weighted Wavelet Z-transform,WWZ)算法[9]。以上方法被广泛应用于活动星系核周期性光变的研究中，对天体辐射机制的研究、辐射区的限定、天体质量的估算等起到了重要的促进作用。

天文观测的局限性会导致观测数据不连续性。Jurkevich方法在不等间距数据处理方面有着独特的优势，被广泛用于活动星系核长周期光变的研究。1998年，樊等[10]使用Jurkevich方法研究了NGC4151自有数据记载以来的光学资料，发现NGC4151的光学波段可能有（14.04±0.8）a的周期性光变；2000年，苏[11]也应用Jurkevich方法对PKS2251+158近100年光变数据进行研究，得到该目标在光学B波段的光变周期约为12.39 a；2001年，樊等[12]再次使用Jurkevich方法研究了3C273自1887年至1997年以来的光学数据，发现光变曲线具有明显的2.0 a光变周期。近年，Li等[13]使用LS方法和Jurkevich方法研究了3C 454.3的多波段光变曲线，发现该目标在红外、光学、软X射线和γ射线波段的光变均存在(210.8±12)d的周期；使用Jurkevich方法，Li等[14]还得出Mrk421射电15 GHz、X射线和γ射线波段的光变曲线可能具有(287.6±4.4) d、(309.5±5.8) d和(283.4±4.7) d的光变周期；Fan等[15]使用ACF、SF和Jurkevich方法研究了AO 0235+164 R波段2004-2012年光变曲线，得到了该目标在R波段可能具有(0.55±0.03) a的光变周期；Xiong等[16]使用REDFIT，LS和Jurkevich方法研究了3C 273 V波段1968-2016年的光变曲线，得到了该目标在V波段可能具有(3918±1121) d的光变周期。

本文在介绍Jurkevich方法原理的基础上，推导并讨论了该方法的误差公式，最后使用该方法研究了耀变体PKS 2155-304光学I波段光变曲线的光变周期。

1 Jurkevich方法

Jurkevich方法[1]是基于期望均方差的一种统计学方法，被用于处理非等间距数据。数据样本是由N个数据构成的，其中样本的平均值、离差平方和、方差分别为：

Jurkevich方法将数据根据试验周期来进行折叠分组处理，然后对得到的每一批分组数据计算平均值、离差平方和再对每组的离差平方和求和得到总离差平方和其中第l分组的平均值、离差平方和及方差分别为：

以上三个式子中的Nl为第l组观测数据的个数，则m组各自离差平方和的总和为：

对给定的数据样本，V2不受试验周期影响，但和对试验周期的变化很敏感。当试验周期不是真实周期时，很小；当试验周期与真实周期很接近时，由于各组平均值的变化差异较大，此时大很多，即减小。因此当取得最小值时，满足试验周期和真实周期相等。令试验周期为P，可通过作找到图中的极小值点对应的试验周期值来确定数据样本的周期。

2 Jurkevich方法的误差

2.1 误差公式的推导

在物理测量中，设被测量y和各直接测量量x1，x2，…，xn之间的函数关系为：

若xi的误差为△xi，则y的误差可表示为

上式为误差传递公式。根据以上公式，在Jurkevich方法中，我们将xi视为独立变量，且只考虑xi测量的误差△xi，则V2的误差可表示为

在Jurkevich方法中，我们将所有的数据按照相位进行分组，分组后每一个分组的和未分组的V2函数形式是一样的。因此，的误差为

2.2 误差公式的验证和讨论

为研究Jurkevich方法误差公式，我们构造了一个信号

添加均值为0.3、方差为0.05的高斯白噪声，如图1所示，使用Jurkevich方法随机取100个不等间距数据进行分析，取分组数为9，如图2所示，由于误差较小，Jurkevich图中不能直观显示，这里截取图中第一个周期成分所在位置附近进行放大，从放大图中可以看出Jurkevich方法的误差，但该误差对Jurkevich方法的结果影响并不大。使用(15)式得到的Jurkevich方法误差的平均值为0.021，标准差为0.001.当取分组数为5时，使用(15)式得到的Jurkevich方法误差的平均值为0.012，标准差为0.008.

图1 添加高斯白噪声的信号图

图2 添加均值为0.3、方差为0.05的高斯白噪声后的信号及分组数为9的Jurkevich方法结果

天文观测数据，特别是X射线和γ射线的观测数据常常具有较大的误差。为进一步研究Jurkevich方法的误差，我们采用(16)式构建的信号，添加均值为1.0、方差为0.1的高斯白噪声，使用Jurkevich方法随机取100个不等间距数据进行分析，取分组数为9，如图3所示，由于误差较小，Jurkevich图中不能直观显示，因此截取图3中第一个周期成分所在位置附近进行放大，从放大图中可以看出Jurkevich方法的误差，但该误差对Jurkevich方法的结果影响并不大。根据(15)式得到分组数为9时的Jurkevich方法误差的平均值为0.040，标准差为0.013.当取分组数为5时，Jurkevich方法误差的平均值为0.032，标准差为0.015.

经过以上分析可以看出，当测量值xi的误差较大时，Jurkevich方法的误差也会随之变大。分组数的选择对Jurkevich方法的误差也有影响，且误差会随分组数增大而增大；尽管如此，Jurkevich方法仍能直观高效地反映出待测信号的周期特征，该方法的误差较小，且远远小于观测数据的误差，并不会影响值的判断。

3 PKS 2155-304光学I波段的光变周期

PKS 2155-304是南天区一个很好的高频峰BL Lac研究对象，红移量z为0.116，是在X射线和远紫外波段最亮的BL Lac天体之一 。PKS 2155-304是自从上世纪70年代发现以来最受关注的研究目标之一，目前可以使用的观测数据覆盖了射电波段到TeV能级的γ射线波段[18-19]。2000年，Fan & Lin[20]收集了近17年的UBVRI的观测数据，使用Jurkevich方法等得到了光学V波段具有约4.16 a和7.0 a的准周期。2012年，毕等人[21]通过对2004到2011年的观测数据应用Jurkevich方法进行分析，得到PKS 2155-304光学R波段具有314 d的中短时标光变周期。Zhang等人[22]搜集到了约35 a的R波段光变曲线，使用Jurkevich方法等三种方法得到了PKS 2155-304在光学R波段具有317 d的准周期。

本文从文献[23]中搜集了2005年4月11日到2012年6月30日的281个非均匀观测数据，可以看到，在整个观测区间，PKS 2155-304表现出剧烈的光变，其中亮度的最大值11.332星等，最小值为13.492星等，且表现出一定周期性。图4为BL Lac天体PKS 2155-304在光学I波段的光变曲线。

图3 添加均值为1.0、方差为0.1的高斯白噪声后的信号及分组数为9的Jurkevich方法结果

图4 PKS 2155-304光学I波段光变曲线

使用Jurkevich方法对PKS 2155-304光学I波段的光变曲线进行周期分析的结果如图2所示。使用(15)式得到的Jurkevich方法误差的平均值为4.51×10-4，标准差为1.96×10-4。由图5可以看出该天体在I波段的光变曲线中有两个明显的低谷，对这两个低谷做高斯拟合，以FWHM作为这两个周期的误差。拟合结果为P1=(312.00±16.17) d，P2=(644.00±9.77)d，f=2.16＞0.5，上述结果都符合F判据中具有明显周期性的条件，因此对应有两个明显的周期成分。使用Jurkevich方法对周期可靠性判断应当满足以下两个条件：(1)数据时间跨度大于准周期的6倍；(2)有明显振幅。结果中P1=(312.00±16.17)d满足Jurkevich方法对周期可靠性的判断，所以P1=(312.00±16.17) d是PKS 2155-304在光学I波段具有的准周期，而P2=(644.00±9.77) d则不满足时间跨度大于6个周期的限制条件，故舍去。

图5 PKS2155-304光学I波段Jurkevich图

使用Jurkevich方法对PKS 2155-304光学I波段2005年到2012年近7年的光变曲线进行周期分析的结果表明，PKS 2155-304在光学I波段可能具有(314.17±11.91) d的光变周期。这一结果与Sandrinelli等[24]发现的PKS2155-304在光学B波段约315 d的光变周期一致，也同Zhang等[22]发现的PKS2155-304在光学B波段约317 d的光变周期相吻合。表明以上两个波段的辐射有着良好的相关性。

4 结语

本文在介绍Jurkevich方法原理的基础上，推导并讨论了该方法的误差公式，最后使用该方法研究了耀变体PKS 2155-304光学I波段光变曲线的光变周期。通过对平均误差为0.01为耀变体PKS 2155-304光学I波段的光变曲线进行了周期分析，根据(15)式得到的Jurkevich方法误差的平均值为4.51×10-4，标准差为1.96×10-4，以及PKS 2155-304在光学I波段可能具有（314.17±11.91）d的光变周期。进一步验证了Jurkevich方法能够高效地分析不等间距数据中的周期成分，并且是一种研究光变周期误差极小的方法。同时也证明即使在待分析数据误差极大的情况下，该方法的误差对低谷的选取和F判据的使用都没有影响。