HPM视域下小学数学教学的意蕴

就小学数学课程而言，其目标的实现与否，离不开两个关键因素，教什么和怎么教（对学生而言是学什么与怎么学），从一定意义上来说，教什么又决定了怎么教。教什么的核心是如何看待知识。对数学知识的功用分析可从多个层面进行，包括逻辑学、教育学、心理学等。在众多的层面中，笔者认为切不可忽略数学史的层面。关于数学史的教育教学价值，学术界已达成广泛共识。尤其是成立于1972年的HPM小组（International Study Group Oil the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics，数学史与数学教育关系的国际研究群），标志着数学史与数学的研究已经成为数学教育研究的重要内容。如何将数学史有效地融入数学教学之中，进而对于数学教学的改善和课程的建设提供帮助，是HPM研究学者的重要关切。

一、HPM视域下数学教学的本源探寻

“发生教学原理”是HPM视域下数学教学的主要理论依据。“历史发生原理”起源于德国生物学家海克尔（E.Haeckel）所提出的生物发生基本定理：“个体发育重演种族发展”。第斯多惠（F.A.W.Diesterweg）最早提出“发生教学法”，在其名著《德国教师培养指南》中，他认为之所以需要采用“发生教学法”，是因为这是所教学科兴起或进入人类意识的方式。许多数学家及数学教育家对“历史发生原理”都非常重视。克莱因（M.Klein）认为：数学史是教学的指南。弗赖登塔尔（H.Freudenthal）更是认为，“年轻的学习者重蹈人类的学习过程，尽管方式改变了”。

HPM思想在数学教育中之所以得到如此的重视，从某种意义上说它不仅揭示了数学知识产生和发展的历程，也明示了数学学习应该如何才能真正地发生。而只有当学习真正发生时，学生对数学本质的理解、数学思维的发展等数学素养才有可能得以实现。因此，在核心素养课改背景下研究HPM视域下的小学数学教学有现实意义。

二、HPM视域下小学数学教学的价值追求

HPM研究的数学教育价值，国内外数学界及数学教育界有广泛且深入的研究。其中比较有代表性的如Tzannaki和Arcavi等提出数学史可以帮助数学教学的五大原因：（1）帮助学生学习数学；（2）对数学的本质和数学活动的发展认识，提供了新的视角；（3）提升数学教师自身的数学素养；（4）让教师更加热爱数学；（5）将数学视为一项文化成果。华东师范大学汪晓勤教授将HPM研究的价值概括为知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效”。

目前，国内HPM研究应用多在中学，小学数学教学领域相对较少，这里面有客观原因。但就价值层面来说，HPM思想对小学数学教学有着独特的价值。

（一）立足于儿童的数学学习

学习是儿童的本能，儿童学习数学的方式是由其年龄特点和认知方式决定的。符合儿童认知规律的数学教学才能激发他们的学习兴趣、探索欲望，才能激发儿童的自主发现和创造，这正是HPM思想立足于小学数学教学的本质意蕴。概括地说，HPM思想能给儿童数学学习带来真善美的发展。

1.儿童之真在于自然。

卢梭有句名言：“大自然希望儿童在成人之前就要像儿童的样子。如果我们打乱了这个秩序，就会造成一些早熟的果实，它们长得既不丰满也不甜美，而且很快会腐烂。”传统的小学数学教学注重知识传授的效率，为了确保这种效率，知识就必须滤去其产生时的复杂和反复的历程，呈现出一种严谨的、间接性的逻辑结构。这种静态化的知识结构与儿童自然的学习本能是不相匹配的。基于HPM的教学知识的展现是其自然真实的历程，知识的历史顺序、逻辑顺序与儿童的心理发生顺序相互融合。

2.儿童之善在于创造。

弗赖登塔尔说过，学习数学唯一正确的方式就是再创造。儿童天生就是一个创造者，再创造的数学学习方式顺应了儿童的这种天性。基于HPM的小学数学教学，为儿童在数学学习中实现再创造提供了可能。一是明了知识产生和发展的过程和关键步骤，为再创造指明方向。二是了解数学史可以为再创造搭好脚手架。正如弗赖登塔尔所说，没有必要也没有可能将数学教学变成历史发展过程的机械重复，但确实可以从中获得很好的借鉴。三是HPM视域下的教学要求教师尽可能地营造合适的再创造学习环境，以激发儿童的创造欲望。

3.儿童之美在于生长。

儿童内在的心智结构决定了儿童的发展具有可能性、创造性和独特性。传统的小学数学教学注重知识的传授，不仅忽略了儿童生长的特性，也掩盖了数学知识形成过程中不断超越和创新的本质。HPM思想的核心不仅在于揭示知识是怎么发展的，还在于引领我们更好地顺应知识的历史逻辑，只有像数学家一样凭借数学的直觉思维，做出各种猜想，然后再加以验证的学习方式，经历数学再创造，建构儿童自己的数学，才能给儿童的生长以启蒙、营养和力量。

（二）立足于小学数学教育

张景中院士认为，小学数学教学很初等，很简单，尽管简单，却蕴含深刻的数学思想。如何让简单的小学数学知识教得不简单，学得有深度，HPM思想就是一个很好的视角。

1.HPM思想之于教师的知识观。

长期以来，人们对数学的印象就是一种高度抽象、结构严谨的演绎体系，由此，数学教学往往就变成讲解数学的定义、定理到应用定理、性质来解题的单一行为，其后果就是让小学生失去兴趣，甚至厌恶、害怕学习数学。HPM视域下的数学观不仅关注知识本身，更关注知识内隐的过程和本质，其实质正像上面所讲的，把数学当做一项人类的文化成果，数学的符号、思想、理性精神和内在的美都是数学文化的特征。文化视角中的数学知识，不仅符合数学本身发展的规律，更符合学生数学核心素养的发展规律。

2.HPM思想之于教师的教学观。

弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的或已经完成的数学，另一种是活动的或创新的数学，完成的数学以演绎的面目出现，给予人们的是思维的结果。活动的数学则是数学家发现和创造数学的真实过程体现。HPM视域下的小学数学教学是一种在教师指导下的学生对数学知识“再创造”或“再发现”的过程，从数学学习角度来讲，也是一种对数学文化的深刻领悟下的数学知识、数学思想的深层次建构过程。

三、HPM视域下小学数学教学的践行

HPM视域下的小学数学教学，其主要遵循的是“历史发生原理”，但其过程不能简单地理解为历史的还原，而是借鉴数学知识的发生发展，再现数学本原的思想方法，并在历史与现实之间架起一座桥梁，通过这座桥梁让学生感受到内蕴于知识深处的文化魅力。

（一）研史明理，深刻理解数学本质

在小学数学教学中，学生经常会对一些教学内容产生疑问，如x=1是方程吗？学习了分数为什么还要学习小数？无法回答此类问题表明教师对数学本质的理解不深刻、不系统。例如：在教学“用字母表示数”时，M老师告诉学生，当一个数不知道数值时就用字母表示。M老师的理解是“在方程里字母表示未知数”，可见，脱离了字母表示数的历史背景，就看不清它的来龙去脉，自然也就无从体会其本质。从算术到代数，人类经历了三个历史阶段，即文辞代数、缩略代数和符号代数，而在这其中，用字母表示数的过程，不是用字母代替具体的数量，而是把具体的数量符号化、把特殊的关系一般化的过程。因此教学“用字母表示数”的关键在于让学生理解已知的量为什么还要用字母表示，理解了这一点才能真正实现从算术思维走向代数思维。

（二）与史相融，重构小学数学课堂

数学史进入数学课堂，汪晓勤教授概括了四种方式，即附加式、复制式、顺应式和重构式，前面三种方式是直接或间接应用数学史的相关内容进行教学，重构式是依据知识的历史发生原理和学生的数学基础为基础，通过知识情境的重组让学生真正经历知识的产生和创造过程。重构式的教学不是简单地把数学史拿来，而是从数学文化的视角来展现知识的发生和发展。如在“角的认识”教学中，很多学生对“角的大小为什么与边长无关”这个问题不理解，因为教材没有安排讨论这个问题，所以很多教师也就一带而过，或者教师自己也没弄清楚，这就给学生理解角的本质内涵带来很多局限。翻开数学史，我们发现角的精确测量是以线量角，即单位圆内角的大小与其对应的弧长相关。若以此为依据来重构“角的测量”，那就可以引导学生用线（画圆弧）测量，而以线量角的关键是需要对两个角截取相同的孤长（单位圆）。这样不仅可以让学生创造量角的方法，而且可以理解角的大小的真正含义。

（三）以史为鉴，让数学学习彰显文化价值

数学本质上是一个蕴含数学文化的知识体系，它以符号系统为载体，向人们传递其内在的意义。小学数学的教与学，不应是数字、符号的堆砌，而应是一种在数学文化整体观照下的知识、思想及观念的深层次理解和建构。

如小学阶段关于测量的教学，这节教师们平时不太关注的教学内容，其实充满了丰富的文化意义和价值。我国秦朝统一度量衡成为历史的标志性事件，大大促进了当时政治、经济、文化的发展。测量的产生和发展源于生产生活需要，在不同的社会文化背景下，其方式方法也不尽相同，这也体现了数学文化的多元性，但测量蕴含的数学思想及文化意义却是一致的。测量教学要让学生在丰富的数学活动中体会测量的需要、测量工具的形成、标准的建立、计量单位的形成及发展变化，在这一过程中给予学生多元文化的熏陶，由此让学生深刻感悟测量的定量、公度的基本思想。从某种意义上说，测量的学习也是一种文化重建，即学生在丰富的社会文化背景下，通过对相关知识及其发展脉络的深刻理解，在不断生成、不断创造的过程中，自然地感悟数学文化的意义。