巧用数学模型，引发深度思考

江苏省淮安市实验小学 万春红

数学知识之间存在各种结构性的关系。教学实践表明，将数学知识由点串成线，形成知识网络，能让学生更清晰、深刻地感知数学知识的本质。模型思想作为《课程标准(2011年版)》修订新增的核心概念之一，揭示的就是数学对象内在的数学关系结构，它直接指向数学本质，抓住了数学最核心的部分。数学课堂中，重视建构数学模型，能引领学生的思维向纵深发展，促进学生对知识进行追本溯源的深度思考与探究。

一、建构数学模型的意义

建构数学模型，有助于学生知识结构化：学生的学习活动不是简单地听取和吸收教师授予的知识，而是通过已有的知识和经验进行探究、碰撞，把握知识再加工的建构过程，从而把新知纳入自己的知识体系中。数学模型能将学生散落的知识点穿珠成串，进而促进学生深入理解知识本质。建构数学模型，有助于学生思维走向深刻，同时，有助于学生探索能力的提升。

二、建构数学模型的实践与探索

数学模型突出数学结构的形式化表达，注重对学生简约化的理性思维训练。数学教学中，如何引导学生经历建模的过程，发挥模型思想在学生思维发展中的作用，下面简述自己在教学中的实践与探索。

1．在情境中初步感知数学模型

数学源于生活，用于生活，很多不同的生活原型中包含相同的数学模型，教学中，教师要善于寻找生活中与数学学习有关的素材，及时引入课堂，将学习内容通过生活情境的方式展示给学生，激活学生已有的生活经验，让他们感受其中隐含的数学问题，促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。

如在教学《认识11～20各数》时，教师从教室里常用的“评比栏”引入，老师每表扬一次小朋友，就会在“评比栏”内为他贴一个“笑脸”。当学生得到的“笑脸”个数太多，格子不够用时，怎么办呢？学生思考交流后，教师出示办法：当“笑脸”个数满十个，就把它们换成一颗“大拇指”。接着，数一数几个小朋友分别得到几颗“笑脸”。数的时候，学生会发现贴“大拇指”的格子数起来很方便。这个环节的设计初步让学生感知10个一可以换成1个十。

接着，教师向学生介绍古人的石子计数法：数一个物体，就在地上放一块小石子，当数量太多，小石子不够用时，人们就用一个大石头代替10个小石子，再一次让学生感受到10个一换成1个十源于生活的需要。

两次替换后，教师提出活动要求：“数出11根小棒，怎样摆能一眼看出是11根？”学生有了前两次替换的经验，可能会很快想到可以把10根小棒换成一根大的。怎样换呢？十根全部合到一起就可以了。学生可以初步感知：随着数的数量逐渐变多，一一对应的计数方法过于烦琐，因此，一个新的比“一”大的计数单位产生了，它表示“10个一”。这个教学过程呈现了概念逐渐发展、抽象的过程，学生的脑海里产生初步的模型：1个十可以替换10个一。

2．在数学活动中建立数学模型

新课标强调，数学教学要由重视“结果性”转变为“结果性与过程性并重”。课堂教学中，教师要努力让学生亲历知识的发生、发展过程，从而建构新的知识体系。

例如，在教学“认识长方形和正方形”时，探究长方形特征时，教师提出“长方形对边相等怎么验证？你有什么好的建议？”

师：请大家拿出课前准备好的工具，动手验证一下。

生1：我是用测量的方法，先量出长方形的一条边，再量出它的对边，然后比较，发现长度相同。

生2：我是用折的方法，把长方形左右对折，两条边完全重合，说明长方形左右两边长度相等。把长方形上下对折，发现长方形上下两条边长度也相等。

师：我们通过量或折发现长方形对边相等，那么长方形的角有什么特征呢？是不是四个角都是直角呢？你能验证一下吗？

本课中，学生借助长方形纸和尺子，自主探索验证了长方形对边相等，并把验证长度的经验模式应用到验证角度，让被动接受转化为主动建构，经历了自主探索、验证猜想的过程，构建了数学模型。

3．在交流碰撞中完善数学模型

合作交流是《数学课程标准》提倡的有意义的学习方式之一。在数学活动中，学生会以已有经验为基础来建构对知识的理解，通过合作交流，倾听别人的看法、教师的点拨，和自己的经验、理解进行碰撞、交互，从而完善自己的知识体系。

例如，在教学《认识11～20各数》时，学生认识了10个一是1个十，初步感知先摆一捆，再摆1根，能一眼看出是11根。教师让学生快速拿出12根小棒，巩固“一个十”的模型，了解12里有1个十和2个一。

师：你还想摆出十几呢？

师：告诉你的同桌，你是怎样摆的？

汇报交流：

生1：我摆了13根，摆一捆，再摆3根。

生2：我摆了15根，一捆加5根。

生3：我摆了18根，先摆1捆，再摆8根。

……

学生列举自己的摆法，师板书并追问：我们摆的这些数有什么相同的地方？同桌交流后，学生发现十几就是一捆加几根，“十几”的模型已经清晰可见。估一估、数一数环节，数草莓时，学生估计可能有十几个。师：怎样能一眼看出是十几个呢?摆小棒的方法在这里可以用吗？通过教师点拨，学生很快想到数到10个的时候可以圈起来，这样方便看出是十几。

学生在交流展示、教师追问、点拨中，自己的经验理解与他人的经验相互融合，数的概念模型也得到了补充和完善。

模型思想的渗透是一个长期的过程，学生的知识模型是在一次次的数学活动中建立与发展，并不断修正，完善。在教学活动中，要让学生经历知识的形成过程，并有意识地引导学生构建数学模型，让学生的学习体验经历从模糊到清晰的过程，引发学生深度思考,从而提升数学素养。