一道高考模拟数列试题的解法探究及拓展

陈 彬

(上海商学院文法学院数学教研室 201400)

1 引言

为了方便及统一符号，本文中用N表示自然数集(即正整数集)，Z表示整数集. 给定一个集合A，|A|表示集合A的基数. 对x∈R，[x]表示实数x的高斯取整，即不大于实数x的最大整数. 给定两个整数a，b，其中a≠0，a|b表示a能整除b，a⫮b表示a不能整除b.

2010年江苏省苏州市某高中在其二模数学考试填空题里(最后一道)出了这样一道函数题：假定一个函数f(x)在(0,+∞)上严格单调递增，且若n∈N，则f(n)∈N；又已知f(f(n))=3n，求f(5)=?

我们解答一下这道题目：首先，从最简单的情况着手.假设f(1)=k∈N，则f(k)=f(f(1))=3.由于f(x)在(0,+∞)上严格递增，所以1≤k≤3.很明显，k≠1，否则f(1)=1，且f(1)=3，矛盾.又易见k≠3，否则f(1)=3=f(3)，这与f(x)严格递增矛盾.这样的话，k只能等于2.从而，f(1)=2且f(2)=3.

接着，比较自然地，f(3)=f(f(2))=6.f(4)，f(5)似乎无法着手计算，尝试f(6).f(6)=f(f(3))=9.由函数的严格单调性，6=f(3)

我们阐述一下这道数列题目的思路及解决过程，还有其特殊之处.

首先，题中对象是函数，实际上该题是一道数列题，因为从头到尾都并未涉及到分数的性态或计算.因而，我们可以把题目修改得精简一些：假设一个数列{an}是严格单调递增数列，{an}⊆N，并且满足aan=3n，则a5=?或更平易近人一些，(题目)假设一个数列f(n)是严格单调递增数列，f(N)⊆N，并且满足f(f(n))=3n，则f(5)=?

其次，解题一开始须从最简单的情况入手.这是因为，要直接看出f(5)如何由条件所得，是有一定的困难的，无从下手，只得尝试从最简单，自然数集的起始点1开始着手：计算f(1).

另外注意到，在计算f(1)，f(2)的过程中，我们就已经把所有的条件都利用了一遍，不仅利用了数列的严格单调性，也利用了迭代关系式f(f(n))=3n，最后再利用了数列只能取到自然数的特性.

接着，计算f(3)是自然的，不仅要看到，算出f(1)和f(2)之后，自然要主动尝试计算f(3)，而且注意到f(2)=3，结合迭代关系式f(f(n))=3n的使用是至关重要的.

然后呢? 显然是计算f(4)，然后再算出f(5).如果这样的话，我们进行不下去了.我们已经算出，f(1)=2，f(2)=3，f(3)=6.我们知晓f(4)是个自然数，但已经无法利用迭代关系式直接计算出f(4)，因为不存在自然数m让f(m)=4.那么要利用迭代关系式的话，我们应该计算f(6)，然后再碰碰运气.f(6)=9，结合f(3)=6，自然会试图压迫出f(4)与f(5)的取值.

到这里，在解决这道题目上，我们利用了简化、尝试、猜想等一些手段和方法.实际上，对这道题目而言，我们还可以做更多的拓展和思考.

思考题1这样的数列是存在的么，并且是唯一的么? 有通项公式么?

思考题2计算数列在任意项的取值，如f(100)，f(500)等，这依赖于问题1，需要我们对题干数列的性质有更进一步的认识.

思考题3这道题目的难度有多大?还有关于题目自身,其完备化、扩张化或一般化，有推广的价值空间么?

我们就这些问题细细讨论一番.

2 数列的存在唯一性

为了方便书写证明过程，我们如法炮制原题目的方法过程，并计算出题设数列的一系列取值，列表如下：

n123456789101112131415161718f(n)236789121518192021222324252627n192021222324252627282930313233343536f(n)303336394245485154555657585960616263

经过多次计算后，我们猜想这个数列是唯一存在的一个数列.我们发现，对某一些项的项数与取值有一定的倍数关系.一方面，f(1)=2，f(3)=6，f(9)=18，f(27)=54等这部分内容呈现出来的规律是，因变量是自变量的两倍；另一方面，f(2)=3，f(6)=9，f(18)=27，f(54)=81这一部分所呈现出来的规律是，因变量是自变量的1.5倍.鉴于这些观察，我们(不完全)归纳出如下的引理1.

引理1若数列f(n)是严格单调递增数列，f(N)⊆N，并且满足对∀n∈N，都有f(f(n))=3n，则对∀n∈N∪{0}，总有f(3n)=2·3n，从而同时有f(2·3n)=3n+1.

证明数学归纳法.首先，经过前述计算，n=0或1时，f(30)=f(1)=2=2·30，f(31)=f(3)=6=2·31.假设当n=k(≥2)时，命题成立即f(3k)=2·3k；此时f(2·3k)=f(f(3k))=3k+1.从而，当n=k+1时，f(3k+1)=f(f(2·3k))=2·3k+1.结论成立.因此，对∀n∈N∪{0}，总有f(3n)=2·3n，从而同时总有f(2·3n)=f(f(3n))=3n+1.

注1通过经验主义(观察、不完全归纳)，我们猜想出题设数列在特定两类项上取值的一般规律，然后用数学归纳法给出了严格的证明.接下来，我们将利用这两类项把自然数列进行有效的一般划分.

注意到，对∀m,n∈Z，m

为了方便叙述，我们给出划分(也称分解)的定义.

例如，{[n,n+1):n∈N}，{[2n-1,2n):n∈N}就是N的两个划分.一般地，给定一个严格增加且取值为自然数的序列{an}，则{[an,an+1):n∈N}就是N的一个划分.

注意到，{[3n,2·3n),[2·3n,3n+1)|n∈N∪{0}}是自然数集N的一个划分.要求出数列f(n)的通项公式，只要分别求出在这些区间范围内对应的取值即可.

引理2若数列f(n)是严格单调递增数列，f(N)⊆N，并且满足对∀n∈N，都有f(f(n))=3n，则数列f(n)在每一个区间[3n,2·3n)上相邻自然数的取值也是相邻的(相差1).进一步，∀k∈[1,3n)，总有f(3n+k)=2·3n+k.

证明数学归纳法.我们已经计算出，f(3n)=2·3n，f(2·3n)=3n+1.自变量区间[3n,2·3n)恰含2·3n-3n=3n个自然数，而取值区间[2·3n,3n+1)也恰含3n+1-2·3n=3n个自然数.由数列的严格单调性及f(N)⊆N，显然∀k∈[1,3n)，总有f(3n+k)=2·3n+k.

由引理2，∀k∈N，k<3n，总有f(2·3n+k)=f(f(3n+k))=3(3n+k).从而有引理3，叙述如下.

引理3若数列f(n)是严格单调递增数列，f(N)⊆N，并且满足对∀n∈N，都有f(f(n))=3n，则数列f(n)在每一个区间[2·3n,3n+1)上相邻自然数的取值相差3.进一步，即∀k∈[1,3n)，总有f(2·3n+k)=3(3n+k).

结合引理1、2、3，我们可以得到数列任意一项的取值，并且稍微作一下变量替换，很容易得出数列的通项公式，写成定理如下.

定理1若数列f(n)是严格单调递增数列，f(N)⊆N，并且满足对∀n∈N，都有f(f(n))=3n，则这个数列是存在且唯一的，其通项公式为

这样我们解决了第一道思考题.这个数列存在并且是唯一的，其通项公式是可以写出来的.

通项公式写出来，就可以着手计算数列在任意一项处的取值.例如f(100)，先看100在哪个区间内，3n≤100<2·3n，可以得出n=4，从而f(100)=100+34=181.例如f(500)，先看500在哪个区间内，2·3n≤500<3n+1，可以得出n=5，从而f(500)=3(500-35)=771.由通项公式，我们实际上可以计算出数列的任意项.

这样的话，第二道思考题也被我们解决了.

我们看到，在求出数列的通项公式的过程中，题干的所有条件都受到了充分的运用.归纳、演绎、猜想这些方法使用在其中不停地发挥各自的作用.