数学实验是形成学科核心素养的有效途径——实验教学“打印纸中的数学”的实践与思考

王晓峰 蒋妍兮

(1.江苏省苏州工业园区教师发展中心 215021；2.江苏省苏州工业园区第十中学 215021)

2014年教育部发布《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》，提出了中国学生发展核心素养．2018年教育部颁布的《普通高中数学课程标准(2017年版)》中，把数学核心素养定义为“学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的、与数学有关的思维品质和关键能力”，并明确了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等数学学科核心素养要素．至此，如何在教学中形成和发展学生的数学核心素养已成为业界关注的焦点．

数学实验是学生动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师引导下，学生运用有关工具，通过具体操作在认知和非认知因素参与下，进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的数学活动．数学实验教学是以问题为出发点，以获得数学结果为目标，充分展示探究过程的教与学的活动．数学实验的教学内容选择不拘泥于国家课程，既可以来自教材之中，又可以来自于教材之外，是国家课程的一种有效补充．数学实验能够让学生在掌握知识技能的同时，帮助学生直观地理解数学知识本质、感悟知识所蕴含的数学基本思想、积累数学思维和实践的基本经验．

1 教学过程

1.1 探索A4打印纸长与宽的比值

教师呈现A4打印纸，板书课题—“打印纸中的数学”后，提出问题：你打算研究与A4打印纸有关的哪些问题？学生表示想要研究其面积、周长、厚度等问题．因为A4打印纸是长方形形状，其核心问题是长与宽之间的数量关系，即A4打印纸长与宽的比值，提出“探索A4打印纸长与宽的比值”的本课主题，引发学生思考．

评析发现和提出问题是培养学生用数学的眼光观察世界的主要途径．发现和解决身边的数学，这样的数学学习必定会受到学生的喜爱．纸、直尺(刻度尺)、三角板、扑克牌、教科书等都是学生学习和生活中常见的物品．如果将这些物品做为数学研究的素材和数学实验的工具进行开发，学生会因为熟悉而感到亲切．A4打印纸中蕴藏着哪些数学知识？又该怎样进行探究？……，这样的问题设计，直指A4打印纸的数学本质，能够让学生明白“知识是怎么来的”，从而引发学生“自然地”思考，主动展开探究．

学生先通过目测对A4打印纸长与宽的比值进行了估算．由于结论不一，且出入较大，因此进一步激发了学生对问题进行探究的欲望和对研究方式的思考．

学生提出，既然“看”不行，那就“量”和“算”．教师明确要求：利用刻度尺，度量A4打印纸的长与宽，并计算长与宽的比值，结果精确到0.001．

学生经过独立思考、自主探索、合作交流，很快发现可以通过折纸进行验证，再分别由三个小组代表进行方法展示、说理．

操作的过程中，大部分同学都能够折叠出△ABE，但缺乏将BE长与A4打印纸的长相关联的意识，第2组正是突破了这一难点，使得问题迎刃而解，关注学生关键能力的培养得到了体现．

评析分析和解决问题是培养学生用数学的思维思考世界的主要途径．学生对“A4打印纸长与宽的比值”展开的探索，经历了“目测估计”、“度量计算”、“折纸说理”的过程，这是一个完整的数学活动和知识建构过程，不仅能够让学生明白“知识是什么”，而且在归纳与演绎两种思维方式相辅相成、相得益彰的运用与体会的过程中，又促进了学生的思维从感性上升到了理性，从低级走向了高阶．因此，数学实验能够有效地促进学生掌握知识、发展思维．

1.2 探索A型打印纸的奥秘

1.2.1 探索A3打印纸

回顾A3纸的长与宽的长度，发现420 mm和297 mm这两个数据与A4打印纸的长、宽之间存在着某种关联．如果将A3打印纸沿着长边的中垂线对折，折叠后的图形正好与A4打印纸重合．至此，可以发现A3打印纸的宽等于A4打印纸的长，A3打印纸的长是A4打印纸宽的两倍．

图3

评析经验和知识应用是培养学生用数学的语言表达世界的主要途径．史宁中先生曾说过：“我们必须清楚，世界上有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历．智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，教师只能让学生在实际操作中磨炼．”经过探究，学生已经认识了A4打印纸的特征、初步形成了怎样研究其他打印纸的经验，但这些初步的经验还需要在解决与其相关联的、相近问题中加以运用，以促进经验的不断累积和叠加，最终升华为方法与策略．经验必须由学生通过经历大量的数学活动逐步获得，在“做”中获得，而数学实验就是以“做”为支架的教与学的活动方式，因此数学实验能够很好地促进学生数学思维和实践的基本经验的累积．

1.2.2 探索A型打印纸

将制作好的A5打印纸如图4(1)所示摆放，A4打印纸与A5打印纸依旧有着两倍关系．如此，可以继续制作出A6打印纸．如图4(2)所示，两张A6打印纸拼成了一张A5打印纸，两张A5打印纸又拼成了一张A4打印纸…．以此类推，还可以拼出哪些A型打印纸呢？学生们纷纷想上台演示，他们依次选取了A3、A2、A1型打印纸，最终拼出了A0打印纸(如图4(3))．

图4

“0”乃万物之源，事实上，工厂生产打印纸便是从一张这样大小的A0打印纸开始，不断沿对边中线切割，逐步得到A1、A2、A3等各类A型打印纸，如此设计正是为了最大程度的节约资源，避免边角料的浪费．同时，这个切割的过程也表示了A型打印纸后缀数字的含义——切割次数．

这张初始的A0打印纸到底有多大呢？不难看出，它的长是A4打印纸长的4倍，宽亦如此，由度量得到的A4打印纸的长和宽，可以计算出A0打印纸的长、宽分别为1 188 mm、840 mm．为避免不必要的麻烦，国际上对每一种A型打印纸都制定了相应的标准尺寸(如表1)，可以看出，A0打印纸的国际标准尺寸为1 189 mm、841 mm．

表1

1.3 探索B型打印纸、K型纸

评析完整的教学过程链由“知识是怎么来的”、“知识是什么”和“知识是怎么去的”三个环节所组成．由“A4打印纸中蕴藏着哪些数学知识？”到“探索A4打印纸长与宽的比值”再到“探索A型打印纸的奥秘”，逐步体现了完整的“认识A型打印纸”探究过程．在拓展延伸的环节，提出“探索B型打印纸、K型纸”，使得“认识A型打印纸”又上升为“认识各类常见纸张”，学生所获得知识、方法、经验、思维又有了新的发展空间，因此，学生享受到了完整的数学学习．

2 一些思考

数学核心素养的目标具体化是教师通过一定的教学方式培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的能力．数学实验提出的以“做”为支架、手脑协同、启思明理，促进学生思维发展”的教育理念，与“以学生发展核心素养为纲”的课改理念具有高度的一致性，因此，数学实验教学是实现这些具体目标的有效途径．

2.1 数学实验有助于培养学生的数学抽象能力

2.2 数学实验有助于培养学生的逻辑推理能力

2.3 数学实验有助于培养学生的数学建模能力

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学实验不仅能够促进学生对教材内容的理解，而且能够动态地将问题推广至更广阔、更深刻的层面，不断地发现、解决新的问题，这有助于提升学生研究事物之间关系和规律的能力，逐步形成属于自己的学科思维．例如，学生从A4打印纸中抽象出长方形模型，随之又找到了它与A3纸之间的关系，通过简单的数学建模构造出基本图形之间的联系，通过分析数据提出猜想，然后加以验证，最终获得发现，得到相应的结论．因此，数学实验有助于培养学生的数学建模能力.