数学问题解答

(解答由问题提供人给出)

(山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)

证明设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，由O为椭圆Γ的中心，得

x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0.

由C(-x1-x2,-y1-y2)在椭圆Γ上得

即

(1)

由过点B的椭圆Γ的切线方程为

(1)式表明切线DF过点(-2x1,-2y1).

同理由B(-x1-x3,-y1-y3)在椭圆Γ上得

(2)

由过点C的椭圆Γ的切线方程为

(2)式表明切线DE过点(-2x1,-2y1).

从而D(-2x1,-2y1).同理得

E(-2x2,-2y2)，F(-2x3,-2y3).

于是线段BC为△DEF边FE对应的中线，从而B为线段DF的中点，C为线段DE的中点.同理A为线段EF的中点，故S△DEF=4S△ABC.

2442已知a,b,c为正实数，且ab+bc+ca=1，试证明：

(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 712000)

证明由条件等式ab+bc+ca=1，

当a=b,2ab=1，而ab+bc+ca=1，

2443已知：如图1，PA、PB、PC、PD为⊙O的顺时针排列四条弦，且∠APB=∠DPC.若AD为⊙O的直径.求证：

2PB·PC≤(PA+PD)2.

(北京市芳草地国际学校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

图1

图2

证明如图2，连接AB、CD、AC，连接BC并延长与PD的延长线相交于点E.

因为P、C、B、A四点共圆，

所以∠PCE=∠PAB.

又∠APB=∠DPC，即∠APB=∠CPE.

⟹PB·PC=PA·PE=PA·(PD+DE)

=PA·PD+PA·DE.

(Ⅰ)

因为P、D、C、A四点共圆，

所以∠EDC=∠CAP.

因为P、C、B、A四点共圆，

所以∠PBA=∠PCA.

由△APB∽△CPE，

可知∠PEC=∠PBA，

所以∠PEC=∠PCA.

即∠DEC=∠ACP.

⟹DE·PA=AC·DC.

(Ⅱ)

由(Ⅰ)、(Ⅱ)两式得

PB·PC=PA·PD+AC·DC

⟹2PB·PC=2PA·PD+2AC·DC

⟹2PB·PC≤2PA·PD+AC2+DC2.

(Ⅲ)

因为AD为⊙O的直径,

所以∠APD=90°,∠ACD=90°.

所以PA2+PD2=AD2=AC2+CD2.

(Ⅳ)

由(Ⅲ)、(Ⅳ)两式得

2PB·PC≤2PA·PD+PA2+PD2.

故 2PB·PC≤(PA+PD)2.

因为∠APB=∠DPC，

所以PB、PC为∠APD的内等角线.

当且仅当PB、PC重合为∠APD平分线PB时，不等式中等号成立.

2444已知△ABC三边长,外接圆半径及内切圆半径分别为a,b,c,R,r,则有

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

而以上最后一个不等式是熟知的Garfunkel—Bankoff不等式,显然成立,故原不等式成立.

2445如图，△ABC为等边三角形，⊙I过A、C两点，⊙O与AB、AC相切点B、C，两圆交D点，延长BD交AC于F，过⊙I点C作切线交AD延长线于E，

求证：AB∥EF．

(江西师范高等专科学校 王建荣 335000)

证明延长CD交AB于K，连KF，如图，显然A、K、D、F四点共圆⟹KF∥CE，

设∠DAC=α，

∠DBC=β，

则∠EDC=α+β，

由面积比

2018年10月问题

(来稿请注明出处——编者)

2446已知实数a满足：有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线y=x3+ax上，试求该正方形的边长．

(湖北省谷城县第三中学 贺 斌 441700)

2447如图，已知△ABC的边BC上的中点D，过D的直线交AC和BA的延长线分别于E、F，且AB=EC-AE.过A、D、E三点的⊙W1和过A、D、F三点的⊙W2,.有EM∥BF、FN∥AC，EM、FN分别交⊙W1和⊙W2于M、N.求证：点D是过A、M、N三点圆的圆心.

(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)

2448已知a,b,c,d≥0 满足a+b+c+d=2.求证：

(兰州大学数学与统计学院 冯建波 730000)

2449设a,b,p,q>0，且a+b=p+q=1，求证：

(1)

(河南质量工程职业学院 李永利 467000)

2450如图，AB,AC分别切⊙O于B,C，过A作割线交⊙O于D,E，过D作AB的平行线分别交BC,BE于F,G，求证：F是DG的中点．