追溯起点向思维深处进发——以《梯形的面积》教学为例

张伟明

一、背景陈述

“图形与几何”是数学学习的重要领域，是帮助学生形成创新意识、发展数学思维的必备土壤。人教版新教材五年级上册《梯形的面积》一课，是在学生认识了梯形特征，经历、探索了平行四边形、三角形面积计算的推导方法，并形成了一定空间观念的基础上进行教学的。因此，教材中没有安排数方格的方法求梯形的面积，而是直接给出一个梯形，让学生在自主参与探索的过程中，发现并掌握梯形面积的计算方法，让学生在数学的再创造过程中实现对新知的意义建构。

课前笔者对来自下城区北部不同学校的近200位学生进行了前测与访谈，结果显示：有66.5%的学生已经知晓梯形的面积计算方法，有55%的学生会应用梯形的面积公式进行计算，有12%的学生知道梯形的面积公式如何推导。从结果分析，图形与几何的课堂应该更注重于让学生在经历数学活动的过程中获得数学思想，发展合情推理与演绎推理的能力，清晰地表达自己的想法。

基于上述认识，笔者重新思考《梯形的面积》一课教学，并在下城区“课堂节”中执教了本课，经历几多辛苦，数易其稿后，最终呈现了一个比较良性的课堂，广受好评。

二、实践探究

下文仅结合《梯形的面积》一课，围绕有效的“图形与几何”教学策略展开论述，以期得到专家和同行的认可。

1.引入：从元认知处着手。

美国心理学家奥苏伯尔说过：“影响学习的最重要的一个因素是学习者已经知道了什么。”这就需要我们教师了解课堂上学生的学习起点在哪里，并据此展开探究性学习，让学生带着任务去学习，促进学生发挥学习的主动权，激活学生的探究内需，为学生深刻思维的培育奠基。

图1

本课的引入环节，通过对学生逻辑起点与现实起点的表征分析，教学从“同学们，我们已经学习了平行四边形和三角形的面积计算，今天这节课我们要来学习梯形的面积计算。”开始。接着给了学生一个简易的等腰梯形，“你能自己想办法计算纸上梯形的面积是多少吗？”（如图1）。看似简单的梯形，正是因为其具备了等腰属性，让学生的思想插上了翅膀，有的学生想到转化成5×4的长方形，有的学生想到把梯形分割转化成高为4、底分别为6和4的两个三角形的，也有的学生直接用梯形的面积公式来计算，在转化、分割、计算中学生越发能体会到推导图形面积计算公式的灵魂思想方法——转化。教师不失时机介入方格图进行验证，让学生感受到这个等腰梯形的确可以用“（上底+下底）×高÷2”来计算面积。学生的几何直观能力在操作与推理中层层推进，这样的过程自然就激发了学生对更高层次学习任务的需求，学生迫切地想要验证、抽象、推理梯形的面积计算方法。此时教师问：“是否所有的梯形面积都可以用‘（上底+下底）×高÷2’来计算？”问题的抛出又于真正意义上让每位学生在遵循“特殊”到“一般”的规律中积累基本的活动经验，从而实现由“读数学”向“做数学”的转变。在操作验证、探究活动中，通过学生的自主探究，进而得到共同的数学结论：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。

2.探究：以多元策略为提升。

数学知识是人类对整个自然规律进行探索，不断研究取得知识成果的积累。在图形与几何领域，公式的推导体现了一个较为完整的演绎过程，而这一过程又是已经完成了的，成为知识定论的学科内容。因此，教师的妥善引领，给予学生充分的时间和空间进行探究，挖掘学生在推理过程中的多元化策略，帮助学生接受学科知识、尝试独立研究、积累研究情感，在研究中助力思维的深刻发展。

图2 探究单设计

探究环节，在验证梯形的面积计算公式时，教师给了学生解决问题的两大法宝：梯形材料以及探究单（如图2）。探究单的设计明确而又简要地阐述学习任务与方法、学习过程中的构建支架和启发思维的问题，学生对整个操作流程非常清晰，设计的前三步试图让全体学生在有限的时间内根据自己的能力自由创造；最后一步则是体现在生本基础上进一步加强生生交流，在集思广益的基础上，深化学生对于知识的理解和掌握，使学生对梯形的面积公式深信不疑。同时教师作为合作者、参与者，引导学生在经历了动手实践、自主探究后进行合作交流。学生通过自主学习和小组交流，经历计算梯形面积方法多样化的证明，交流了：（1）两个完全一样的梯形拼成平行四边形的推导；（2）把梯形沿着中位线分割组成平行四边形的推导（3）把梯形分割成两个三角形的推导；（4）把梯形沿着一腰中点分割组成一个三角形的推导等方法（如图3）。同时利用交互式电子白板强大的交互功能，从资源库中有序提取学生的研究结果，让学生的研究同屏呈现在屏幕上。学生在继续经历观察、回忆、思考等过程后，感知到倍拼转化和分割转化的本质都是转化。正是证明策略的多样化让不同的学生在数学上得到不同的发展成为可能。纵观本课的主要路径，学生经历了课内“猜想——验证——结论——再验证——初步升华”这五个阶段来体验知识的形成过程，让学生动手在“做数学”的过程中，获得的不仅仅是梯形的面积公式，更重要的是怎样由已知探索未知的思维方式与方法。学会学习、学会思考、学会探究，让探究起步于课堂，又超越课堂，从课内学习拓展到课外及更广阔时空的学习，进一步助推思维向深处发展。

图3 学生的方法汇集

3.练习：向结构关联要感悟。

图形与几何概念的系统性很强，原始概念建立后，大多数新概念都是旧概念的发展与深化。但是，学生往往因不善于调动原有的知识储备，难以使认知结构发生同化与顺应，无法实现知识间的关联与结构化。那么好的练习，就必不可少了。辅以教师引导、点拨，为学生架构起“认知桥梁”，让学生感悟到知识间的碰撞、触发、再成长，实现关联学习，形成知识结构，从而促成学生数学思维的再度发展。

图4

图5

练习环节，基于对梯形面积计算方法的定位，教师极简数据构建图形支架，巩固梯形面积的算法。学生很快算出这些图形的面积都是“20”，并发现“虽然形状不同，但因为上下底之和相等，高也相等，所以面积也相等”（如图4、5）。夯实梯形面积的大小取决于上下底之和与高。教师抛出更高层次的问题：“像这样，面积和高都不变的图形还有吗？”通过对图形的类比，学生创造力迸发，创造了多种不同形状的等积梯形。教师捕捉学生创造出的上底是1、下底为9的梯形，让学生想像图形的形状，追问：“上底还能再小一点吗？”从整数自然拓展成了小数。学生迫不及待地说：“上底是 0．0000001，下底是 9．9999999。”教师继续追问“上底能不能继续小下去，直到——”学生恍然大悟，上底可等于0，那梯形就成了等积的三角形（如图6），而此时却还可以用“（0+10）×4÷2”来计算三角形的面积。如此便打破了梯形面积公式只能计算梯形面积的模型，沟通了梯形与三角形的内在联系，丰富了梯形的内涵。学生在这种无形的运动中，收获了成功的喜悦。配合板书，学生很快又继续运用想象，关联了梯形与平行四边形。

图6

在这样开放的练习题里，学生解决问题从静态的基本图形组成分析上升到基于关系去分析图形之间的要素结构与等积变换，有效实现了知识间的关联与结构化。无怪有学生感慨到：“梯形的面积公式可真厉害！青出于蓝而胜于蓝（我校的校训），尽管梯形面积计算公式来源于平行四边形和三角形，但是反过来它又能计算平行四边形和三角形的面积！”

4.技术：于思想方法中达成。

《数学课程标准（2011版）》明确指出：“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。……把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。”

本课所实施的是基于Activinspire软件的交互功能。在经历动手实践（拼一拼、折一折、剪一剪）、自主探究后，教师引导学生进行交流。根据学生的回答，教师利用软件所具备的交互功能，复制产生一个完全相同的梯形（如图7），进行旋转、平移操作，把学生的思考过程清晰、规整的还原在屏幕上，同时辅以书写功能，把学生脑海中的推理过程通过学生之口进行呈现，凸显学生在学习过程中的主体作用，助力学生形成数形结合思想。接着教师利用区域快照的截屏功能，把学生的思考结果保存到资源库中（如图8、9），既是为了更好的保留学生的思考痕迹，也是为了随后的调取和使用。

图7

图8 区域快照将学生思考保存到资源库中

图9 资源库的相关界面

在充分交流了学生的证明策略后，教师通过调取资源库把学生不同的、有价值的策略留存在同一界面。让学生继续经历观察、回忆、思考等过程，从而指引学生发现这四种不同方法的本质都是转化，助力学生形成转化的思想方法。此外，诸如在信息手段助力上底无限逼近于0时帮助学生形成极限思想；又如化归、符号化思想在本课中均有体现，在此不再一一赘述。

三、写在后面的话

从核心素养的落地生根到开枝散叶，我国小学数学课程改革经历了巨大的演变，这样的演变也为一线教师的教学带来了困惑。作为数学教师，我更关注数学核心素养以及背后核心能力的发展。非常庆幸能有这么一次高规格的“图形与几何”教学实践，让我能结合自己一线教师的优势站在前人的肩膀上进行研究。在改进和批判已有研究不足的基础上，发掘新的研究方法、研究视角和研究途径，以及寻找新的立足点和突破口。诚然，“图形与几何”领域有效教学策略的研究，需要从认知到实践到再认知，那么本文的探索也算是抛砖引玉，希望能以此为鉴，管窥“图形与几何”教学之方向。