策略教学让“解决问题的策略”走向深刻

徐军

苏教版小学数学教材从三年级开始，就单独设立了“解决问题的策略”，这是国内所有小学数学教材中所独有的。这一内容旨在让学生到六年级结束时，能理解从条件想、从问题想、列表整理、画图整理、一一列举、转化等解决问题的一般策略。这样安排是为了更好地让学生从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，在获得分析问题和解决问题的基本方法的同时，体验解决问题方法的多样性，发展学生的创新意识。但在实际教学中，我们不难发现很多一线教师只是将过去应用题的教学方法简单移植到策略教学中来，把策略等同于一种解题方法或解题技巧来教学，这显然背离了“解决问题的策略”的设置初衷。因此，策略教学有必要走向深刻，从数学的特有属性出发，融思想与方法为一体，将现实进行抽象，让方法更加多维，并提炼出模型，最终使策略再回归到现实。

一、从形象到抽象，遵循儿童的认知规律

抽象是数学的基本思想之一，数学通过抽象有了研究的对象与研究对象之间的关系。策略形成过程的载体就是抽象，其是让学生在现实问题情境中舍弃个别的、非本质属性的外部情境，得到共同的、本质属性的一般方法，再经过思想层面的提炼而得到的。

对于小学生而言，策略一词比较深奥，所以策略的教学过程必须依靠可以直观的抽象过程。如线段图整理策略的教学，就可以从形象直观的示意图出发，再逐步抽象出线段图。

教学中，笔者让学生根据三个类似的情境经历了三次画图的过程：小宁有3张邮票，小春有4张邮票；小宁有300张邮票，小春有412张邮票；小宁和小春有72张邮票，小春比小宁多12张。

第一个情境里，学生画出了三种不同的图（图1）。有的学生用“〇”表示一张邮票，有的学生用“ ”表示一张邮票，也有极少数学生画出了最右边的线段图。在交流过程中，发现很多学生对前两种图理解得比较透彻。最后一个图，虽然有“3张”和“4张”的张数说明，但因为比较抽象而让大部分学生不能接受。

第二個情境里，学生在前一次画图的基础上，画出了两种图（图2）。这一次学生自动舍弃了用“〇”来表示邮票，一致认为这种方法虽然清晰但因为张数太多导致画起来太麻烦，所以改用线段来表示邮票的张数，同时也因为张数太多，确定标注“300张”与“412张”的重要性。在比较的过程中，学生因为最后一个图的简约而喜欢上了它。

画图策略的核心是通过图形帮助学生整理信息，更主要的是让学生能在图中直观地表示出数量与数量之间的关系。因此在学生认识并接受抽象的线段图之后，笔者又让学生根据第三个情境经历了第三次画图（图3）。学生在随后的画图过程中，发现第二幅图能更清楚地表示两者之差与二者之和的关系。

纵观学生的数学学习历程，四年级的学生对直观图有了非常深刻的理解，并能用符号代替实物画图，甚至还能在直观图中运用对应思想厘清数量间的相差关系或倍比关系。因此在教学时，笔者遵循学生已有的认知，根据学生自我需求，让学生经历多次画图的自我探究过程，从具象的示意图到了抽象线段图，并在线段图中感受数量之间的关系。

二、从一维到多维，彰显深刻的数学内涵

苏教版数学教材编委侯正海老师在对“解决问题的策略”进行修改说明时说，苏教审定版在修改时曾想过将策略改成方法，但因为策略的提法比方法更加上位，内涵更广，教学的意义更加深远，所以教材还是沿用实验版的叫法，称解决问题的策略。的确，策略包含方法，而且一种策略可以包含多种方法， 所以策略的教学就应是在多种方法中提炼策略的本质核心，以多种解题方法的呈现、辨析、联系、归纳为轴心，深挖策略的本质意义，从而表露出策略的内涵。

“一一列举”是苏教版《数学》五年级上册所教学的一种策略，其要求学生根据不同实际问题的特点，通过合乎逻辑的思考，不重复、不遗漏地列举出符合要求的各种情况。可以说，列举的含义是很浅显的，操作也不算复杂，而且学生在学习这个内容之前已经有了很多列举的实践经验。所以，五年级教学列举策略就应让学生接触到列举的多种方式，让学生理解不同情境下的列举方式的多变，感受列举的多维性，从列举的多种方式、多个角度挖掘列举策略的深意，积累策略解决问题的经验。因此，在教学时，笔者设计了一组需要用“列举”策略来解决的问题：

1.用1、2、3和小数点可以组成哪些不同的两位小数？

2.南山中心小学举行小学生足球赛，有4只球队参加，分别是红队、黄队、绿队和蓝队。如果每两支球队比赛一场，一共要比赛多少场？

3.王大叔用22根1米长的木条围一个长方形花圃。有多少种不同的围法？

三道题目，虽然都应用列举的策略，但与之相匹配的方法是不一样的。第一题比较适合最基本的文字列举方式：1.23、1.32、2.13、2.31、3.12、3.21；第二题适合画图列举的方式（图4）；第三题适合列表列举的方式（图5）。

但学生在练习时，会因为前一题方法迁移的影响，在解答后面一题时不由自主地采用前面的列举方式，如第二题有的学生会采用文字列举的方式（图6），第三题采用画图的方式（图7）。

接下来的课堂交流中，学生通过不同方式的对比，感受到列举的方式可以多样，但不同的情境会有相应的方法，从而感悟出在用列举策略解决问题时，需要根据题目的特点选择合理的方式列举。

三、从题型到模型，追寻学习的现实意义

数学教育的终极目标是一个人学习数学之后能用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界。这里的数学语言就是数学模型，是指在现实情境中把握一类问题的本质与规律，用恰当的数学语言描述出这些本质与规律，并用合适的数学符号表达出本质与规律，最后让数学回归现实世界的一种路径。学生学习策略的目的就是为了更好地让数学回归现实世界，所以提炼各种策略所蕴含的模型就成了策略教学必须经历的一个重要过程。

同时，学好数学的目的是为了更好地生活，但解决生活问题与解决数学问题相比，则会因为生活的涉及范围杂乱无章、线索千头万绪，导致解决现实问题的思维头绪复杂。所以，要让解决问题的策略能回归到现实中来，且能应用自如，就必须在策略形成过程之中提炼出简约的模型，用简洁的思维线索结构去突破现实情境束缚，用程序化、模式化的数学思考代替繁杂的生活思考。因此，策略教学要从注重题型的教学向提炼模型的教学转变，将学生从解题技巧的训练拉到策略思想提升的层面上来。如苏教版《数学》三年级教学的“从条件想起”与“从问题想起”策略，题目的类型是多样的，可以是归一问题型，也可以是归总问题型，甚至还可以是工程问题型等。不同的类型，解题的技巧与方式肯定不一样。如果把教学的视角定位在此，那学生只能奔波于枯燥的解题中，不去思索数学的现实应用价值。因此，教学时我们可以提炼“从条件想起”的策略模型（图8），以帮助学生建立如何收集对应信息一步步地解决问题的程序；提炼“从问题想起”的策略模型，以帮助学生建立根据需求收集相关信息解决问题的程序（图9）。当然，这两种模型看上去形式差不多，但在本质上却有着很大差别，从条件想的模型既是思考的程序，又是解题的程序，而从问题想的模型只是思考的程序，解题的程序恰恰与其相反。所以在对两种策略作对比时，我们有必要与学生一起提炼出模型，帮助他们高效地使用这两种策略。

课堂中提炼策略模型，不仅是为了帮助学生更快地解决相关数学问题，更是为了让他们认识、表达解决这类问题的方法。

策略意识的培养是一个重要而复杂的工程，但教材中所呈现的只有少数几个最基本的策略而已。因此，我们在教学中需要研究教材的编排意图，抓住这些题目的内在本质，轻题型教学，重策略的提炼，让策略教学走向深刻，从方法、意义、应用角度对策略进行全面的阐述，让学生经历整个策略的发现与建构过程，为学生能自主探究其他策略奠定坚实的基础。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 郑毓信等.数学思维与数学方法论[M].成都：四川教育出版社，2005.

[3] 波利亚.怎样解题 [M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[责任编辑：陈国庆]