视“错误”为“拐点” 提升学生运算能力

庞彦福 许彬

【摘 要】运算错误是大多数学生容易犯的错误。在学与教的过程中，教师应不仅要求学生订正错误，进行纠错，更应该引导学生研究错误，弄明白运算错误的背后是什么。引导学生从“纠”错到“究”错，不断实验和反思；在“错误”中“体悟”，以彰显思维的品质；在“繁则思简”的过程中，凸显思维的深度，以达到在错误中进行学习和进步的目的。

【关键词】运算错误；运算能力；初中数学

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）11-0033-03

【作者简介】1.庞彦福，江南大学附属实验中学（江苏无锡，214062）教师，正高级教师，江苏省特级教师，无锡市初中数学名师工作室主持人；2.许彬，江苏省苏州中学园区校（江苏苏州，215000）教师，高级教师。

2017年江苏省“教海探航”征文竞赛颁奖仪式暨全国名师课堂教学观摩研讨活动中，笔者分享了关于学生运算错误的相关思考，并执教了一节关于“有理数运算”的复习课。之所以选择与运算相关的复习课，原因一是初中生运算能力有待提高的现状，二是复习不仅是总结、归纳、提升的过程，也是反思、“究”错、改错的过程，它是数学学习的重要环节，需要我们加以研究。

认知心理学认为：错误是学习的必然产物，学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达形式往往和成年人不同，他们在学习过程中出现各种各样的错误是十分正常的。错误并不可怕，反思、改错是数学学习的一个重要环节。通过对错误的订正、反思及研究，教师更好地促进学生对学习中产生的问题进行思考，从错误中进行学习。

运算能力是学习数学的重要能力。它主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力，一般包括学生数学学习过程中的运算正确率、运算速度以及运算方法的合理性，它是数学各项能力的基础。多年的教学实践与经历告诉我们，初中学生在运算时主要存在运算习惯不好、运算顺序不清、运算律不熟等问题，从而出现运算错误。那么，教师如何帮助学生视“错误”为“拐点”去提升运算能力呢？笔者以为有如下策略。

一、学会从“纠”错到“究”错

通常情况下，学生出现运算错误时，教师会让他们订正，或者是反复训练。这是因为运算能力需要经过多次反复训练，螺旋上升，逐步形成。在这一过程中，安排一定数量的练习，完成一定数量的习题是必不可少的。当然，教师在训练时要把握好“度”，区分清楚什么是“必要的重复”，什么是“机械训练”，什么是“多做题目”，什么是“题海战术”。如果题量过少，训练不足，难以形成技能，更难以形成能力；而题量过多，搞成题海战术，反而适得其反，会使学生产生厌学情绪。

陕西师范大学罗增儒教授曾说：“没有理解的练习是傻练，越练越傻；没有练习的理解是空想，越想越空。”的确，只有练习、订正和纠错是不够的，数学学习需要从本质上理解数学的规范与原理，需要研究错误，弄明白错误的原因到底是什么。否则，不仅不能“熟能生巧”，很可能会出现“熟能生厌”“熟能生笨”，以致出现“熟能生乱”的情况，还会出现“越练越傻”“越想越空”的结果。

例如有这样一道题：如图1，根据图中提供的信息，△ABC的面积是多少？

绝大多数学生很快得出答案是30（平方单位）。当教师问是怎样思考的时候，很多学生认为这是简单的送分题，根据三角形面积公式直接求就可以了。教师继续追问时，有学生不耐烦地说：就是■×10×6=30（平方单位）。教师话锋一转，问道：有哪家的儿子比自己的父亲大2岁的？学生一下子愣住了，没有缓过神来。直到一位学生在黑板上画出斜边的中线CE时（如图2），学生才恍然大悟：直角三角形的直角边怎么可能大于斜边呢，这道题目本身是不正确的。

学生对于不理解的错误可能会接受“纠错”，即完成教师交给的“订正”任务，却不能保证下次不会再犯类似的错误。研究错误，弄清楚产生错误的原因，才可能从根本上纠正错误，才是真正的学习。

二、学会从“误”中“悟”

飞速发展的社会，难免使教育沾染浮躁的气息，在数学学与教的过程中“轻基础重解题”的做法就是表现之一。这种做法的后果是学生不会思考了，更容易出错了。例如“1元=1分”明明是不成立的，但学生面对所谓“完整”的计算过程却发现不了问题在哪儿。再如，计算类似“”的式子时，学生往往是“只知其然，而不知其所以然”。

从“知道、领会、应用”到“分析、综合和评价”，既是布卢姆认知目标的发展过程，也是体现学习者思维品质的递进过程。数学学习的过程中，教师应该要引导学生常思常悟，这样，他们才会不断地追根求源，才会举一反三，触类旁通。

无論是数与式的运算，还是解方程与解不等式的运算，教师要引导学生在反复操练、相互交流的过程中，逐步形成运算技能，让学生多想想“怎样算”“怎样算才好”“为什么要这样算”，引导学生思考如何从“法则”到“算理”，使运算从操作层面提升到思维层面。学生会想了，领悟了，才会养成“先思后做”的习惯，有了好的习惯，才会在运算之前先看“是什么运算”，再看“什么数参与运算”，进而明白“怎样运算才是合理的”。

我们都明白“凡事从简单做起”的道理。我国古代著名哲学家、思想家老子有句名言：“天下难事，必做于易；天下大事，必做于细。”要想让初中学生的运算过“关”越“坎”就应该立足学生实际，以生为本，留给学生足够的时间，让学生反思错误，对错误有所思、有所悟。引导学生从数学的角度思考并发现生活中的现象和问题，用数学的方法思考和解决生活中的现象和实际问题；学会用数学的眼光进行观察（看），用数学的头脑进行思考（想），用数学的语言进行表达（说）；学习数学应该学习它的理性精神和追求，学会在辨析、碰撞中求取真理。

三、学会从“繁”到“简”

生活中人们常说“穷则思变”，数学学习的过程中，繁也要思变。初中阶段的教育主要任务是打基础，数学更应如此，数学训练是要有一定的数量，更要有合理的质量。

当然繁与简是相对的，必要的繁是为了简，是提升思维的。曾听过一位教师讲解这样一道题目：等腰△ABC的腰长为10cm，△ABC的面积为48cm2，求底边长。

由于该班学生整体认知水平比较一致，学生基本上都知道作腰上的高，而且分为锐角三角形和钝角三角形两种情况（如图3和图4），接着求出答案。在具体的运算中，由于运算量大，不少学生出现了错误。执教教师对错误的处理很值得点赞。教师让学生把算错的过程写在一张纸上，另取一张纸写上新的运算过程。过程如下：

类似地，可以算得图4中BC=16cm。所以符合条件的底边BC是12cm或16cm两种情况。

我们看到，以上过程中教师引导学生不要轻易先算出每个平方数的结果，而是先思后算，边思边算，边算边思。当学生写出完整的运算过程后，教师让学生反过来回味运算的每一步，对比两次运算的过程，学生就能体会到运算过程中的繁与简，体悟到运算过程中的理性思维，欣赏算法、算理、法则的美妙及魅力，提高学习数学的兴趣。

总之，教师要想学生学好数学，就应该先让学生具备良好的运算能力。教师和学生一起正确对待错误、反思错误、研究错误，错误则会变成有用的资源，变成拐点，成为进步的起点和阶梯。

【参考文献】

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]李士锜.熟能生厌吗——三谈熟能生巧问题[J].数学教育学报，2000（01）.

[4]庞彦福.推理螺旋上升 彰显深度学习——以“勾股定理”证明为例[J].中学数学教学参考：中旬，2017（05）.