高中数学解题中平面几何的应用方法分析

曹亦成

【摘 要】在我们多年的学习生涯中，无论是处在小学，还是初中、高中阶段中，不可避免且极为重要的一门学科就是数学。同时，数学这门学科的每个环节的难易程度又是环环相扣的。在高中数学课程中，平面几何作为一个重要组成部分，其难度不大，但是在数学解题技巧中占有突出地位。本文接下来将通过对平面几何相关知识的认知學习，建立一个完善的平面几何解题体系，从而使平面几何更有效的地应用于数学解题中，为学习数学打下良好的基础。

【关键词】高中数学；解题；平面几何；应用方法

高中是我们学习生涯的一个重要阶段，同时数学作为高考考察的重点内容，所以学好数学更是极其重要。在高中数学中，包含的重难点很多，比如集合、函数、立体几何等等。平面几何与抽象化各类函数、较难的导数、复杂的曲线等难点内容相比较为容易理解，而且，平面几何与其他知识内容之间有着紧密的联系，通过平面几何知识的应用，能够更快速高效解题，极大程度上减少了计算量，降低了复杂问题的难度[1-2]。为了掌握平面几何知识的解题方法，我们需要更好的了解几何知识，分析与研究其具体原理与解题思路，以此来达到熟练运用的程度。

一、高中数学平面几何的主要知识点

1.点与直线

点与直线是数学中的原始概念，是最基础的构成形式，点，是最基本的形状，由点成线，无数个点构成一条直线。点与直线的基本原理：两点之间的直线是最短的，两点之间只有一条直线。

2.平行线

平行线是在相同几何平面内不想交或不重合的两条线。平行线的特点是作为论证三角形以及四边形的推理的主要依据，并且平行线经常作为解题中的辅助线使用。常用的平行线的特点有：若两条直线平行，则内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，反之也成立；若两条直线平行于第三条直线，则这两条直线也彼此平行。

3.三角形

三角形是基本图形之一，在生活中可以经常运用到，比如数学、建筑中，三角形知识点在平面几何学习中是一项重要的内容，它是我们初步形成逻辑思维能力的一个主要环节。三角形的基本知识点有：三角形内角之和为180°；两边总和大于第三边，两边之差小于第三边等，三角形基本原理有：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即毕达哥拉斯定理；直角三角形中斜边中线的长度为斜边的1/2等[3]。其基本原理推证出三角形的边角关系、论证出相似或全等三角形等，在平面几何解题应用中起到关键性的作用。

4.四边形

四边形相比于三角形更加容易理解，其知识点与平行线有一定的共同点，更容易熟练掌握，四边形有几种不同类型，如矩形、菱形、平行四边形和梯形，它们虽然有着相似之处，但又不尽相同，如菱形四边长度相等；矩形四个角相等且为直角；梯形上下两边平行，具有平行线的性质，但两腰不平行，而且中线的两倍与上下两边之和相等；这些特点都在解题中提供一定的理论依据。

5.圆

圆是一个概念性的图形，是平面几何中较为特殊的形状之一，其知识点较多且琐碎，需要全面理解掌握，才能够灵活运用。其基本定理主要有：垂直于切点半径的横向，穿过半径的外端，垂直于半径，是圆的切线，即切线定理；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两个弧，即垂直弦定理；弦切角等于对应的圆周角，其中弦切角就是切线与弦所夹的角，即弦切角定理；等等。通过学习圆的基本特点以及定理，从而对平面几何的基本知识更加理解，对培养我们的逻辑思维能力有一定的帮助[4]。

二、平面几何在高中数学问题解决中的应用

平面几何对数学解题方法中应用较广，几何图像简单易懂，在处理复杂的函数曲线过程中应用较为灵活，化抽象为具体。并且很多函数曲线是通过相应的规律变化而成的。依据曲线反向思考，再根据题目已知条件进行图形的处理分析，找出关键因素或者隐藏几何条件，再结合已学知识点做出辅助线，根绝相应的图形特征或者定理进行解答，简化解题方法，提高解题效率[5]。平面几何在解题上的应用极大地激发了我们在探索数学未知道路上的兴趣，有良好的启蒙作用。以下，提出平面几何在解题中应用的具体案例，并加以详细论述。

1.最值性问题的求解应用

最值问题的求解最有可能发生在圆锥方程中，在解答该类问题时，可以使用平面几何的应用求解方法，具体方法为先分析现有的已知条件，再对现有的圆锥曲线进行假定方程，从而将已知数置入方程中，进行判断和计算解的范围值，进而确定实际数值，然后就得出方程的最后解[6]。

2.范围性问题的求解应用

在数学解题中，范围性问题也占有一定的比重，虽然该类问题与最值性问题在求解思路上有一定的相似性，但是在处理中还存在着一些差异。范围性问题的主要解题思路是从图形出发，针对对图形的分析与处理，从而映射出方程，再根据其值域进行最终的解题。总之，平面几何的应用对解决数学问题非常有帮助。因此，根据所学的基础知识，进行灵活运用，简化问题解决方法，掌握更多解决问题的能力。

3.曲线方程的求解应用

曲线方程式数学题目中较为简单且典型的一类，在解该类题目时，可采用待定系数法，即根据题目所给的已知条件求解未知数，并且以点的位置关系作为依据，通过逐个解答未知数的方法来得出曲线方程的解，具体方法是将已知数代入曲线方程，以消除其中一个未知数，进而得出另一个未知数，以求出方程的解。该解题技巧简单，思路清晰，通过多练多思考，以此来熟练运用该解题技巧解决该类型的不同问题[7]。

三、结束语

在如今的教育环境下，无论是纸质书写还是计算机答题，培养较强的逻辑思维能力和运算能力都至关重要。而在数学解题中，学会对基础知识的归纳整理，巧妙运用平面几何的解题技巧，理清解题思路，学会对相关知识的融会贯通，使复杂的函数或者不规律的数列能够在平面几何的处理下简单化，极大程度上提高解题的能力及水平。

参考文献：

[1]张林杰.几何画板在高中数学教学中的应用[J].江苏教育研究，2012，（26）.

[2]常琳.高中几何教学方式及教学重点的探究[J].科教资讯，2013

[3]王素霞.平面几何入门概念教学的五步措施[J].学周刊，2012，（23）.

[4]占北淮.浅谈高中数学的平面几何教学[J].教学方法，2016（11）：70.

[5]郑保财.高中数学中的平面几何例解与分析[J].高中数学，2013（10）：36.

[6]孙岚，王红芳.巧用平面几何解决高中数学问题[J].教材研究，2014（6）：53.

[7]罗双.高中数学中几何知识的应用分析[J].中学生数理化，2016（3）：46.

（作者单位：郴州市永兴县第一中学）