沟通知识内在联系提升数学解题能力

陆婧晶

【摘要】教材是教师进行课堂教学的重要依据，是学生进行学习活动的主要载体，教材知识体系间的编排呈现螺旋上升的特点。教师想要通过对教材的教学，促进学生解题能力的提升，首先要读懂教材，把握知识间的内在联系，这样才能让解题教学更加有效。

【关键词】知识内在联系 解题能力 数学教学

一、概念界定及研究背景

所谓数学解题，就是求出数学题的答案。而解题能力，指的是分析题目、明确正确条件，并能懂得条件与条件的关系，从而得到答案的能力。对于数学学科，解题是一种基本的活动形式，无论是数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法与技能的获得，还是学生能力的培养和发展，都要通过解题活动来完成。提高学生的解题能力，是数学教学极其重要的目标。研究数学解题，特别重要的是要对揭示数学问题解决规律进行深入研究，对于教师开展教学有重要启发作用。

美籍匈牙利数学家G·波利亚在他的《怎样解题》一书中提及：解题的核心是他分解解题的思维过程得到的一张表。在这张表中包括了理解题目、拟定方案、执行方案和回顾四大步骤。现阶段，教师在解题教学中存在着一些误区，常常忽视解题研究，空谈基本思想、基本活动经验，弱化了学生数学解题能力的发展。如何利用好教材知识间的内在联系，帮助学生提升解题能力，是值得我们研究的一个问题。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标，实施数学教学的重要资源。教材的编写是根据学生的认知规律、知识背景和活动经验，呈现螺旋上升的编排特点。精准地把握知识间的内在联系，有利于帮助学生将一个个知识点连成线，并拓展成面，这样才能让解题教学更加有效。

二、实施阶段

（一）在一题多解中探寻知识间内在联系，提升解题能力

【案例】《解决问题的策略——画图》一课教学片段

笔者以苏教版四年级下册的《解决问题的策略——画图》一课为例，谈谈如何把握知识间内在联系提升解题能力。这一内容是在学生已经掌握了从条件问题出发分析数量关系（三年级）、用列表的策略整理条件和问题（四年级上册）、常见的数量关系（四年级下册）的基础上展开教学的。

例题：小宁和小春共有72枚邮票，小春比小宁多12枚。两人各有邮票多少枚？

1.读题、审题

从题中你获得了哪些信息？

2.画图

（1）画图策略的需求

师：这道题和我们经常做的应用题相比有什么不一样的地方？

师：题目有点复杂，有什么好办法能帮助我们清楚地找出数量之间的关系？

师：会画吗？自己试一试。

（2）介绍画图过程

教师邀请一名学生来介绍线段图的画法。

（3）看图说题意

师：看着线段图，你能说一说这道题目的条件和问题吗？

（4）比较题目与图

师：同样的题目，不同的呈现方式，你更喜欢哪一种？为什么？

3.解答和分析

师：请你结合线段图介绍一下。

生1：小宁：（72-12）÷2=30（枚）

小春：72-30=42（枚） （板书：去）

生2：小春：（72+12）÷2=42（枚）

小宁：72-42=30（枚） （板书：添）

生3：72÷2=36（枚）

12÷2=6（枚）

小春：36+6=42（枚）

小宁：36-6=30（枚） （板书：移）

4.比较

师：去、添、移，虽然它们的解法不同，但是它们有没有相同点呢？（想办法使两人邮票的数量变得同样多）

5.检验

（1）根据你的经验，可以怎样检验？（把得数代入原题的方法）

师：题目中有两个条件，为了确保正确，两个条件都要检验。只满足一个条件，不够严谨。

6.回顾

梳理解答过程：画图整理—分析解答—代入检验。

“解决问题的策略”是“数与代数” 领域一个新的课题。对学生的学习而言，解决问题的意义不应仅仅停留在能够解决某一类问题、获得某一类问题的结论和答案上，而应基于解题的经历和形成的相应经验、技巧、方法，从而把握一定的解决问题的策略。教材编排的线索是，呈现了已知小宁与小春两人邮票数量的和与差，求两人邮票枚数的实际问题。通过理解题意、分析数量关系、列式解答、检验四个环节，让学生经历解决问题的一般过程。其中在理解题意的环节，介绍了画线段图的方式，借助图形直观，可以让复杂的问题变得简单。对于四年级学生来说，由于题中有两个未知量，学生理解起来有一定难度。如果不启发学生用画图的策略，很多同学会无从下手。通过画图，学生很容易想出了三种方法解决这个问题，也就是我们所说的一题多解。教师面对三种解题过程，不应止步于此，应该进一步探寻本质。提问“去、添、移，虽然它们的解法不同，但是它们有没有相同点呢”，让学生进一步明确，要想求出小宁和小春分别有多少枚邮票，就要想办法把两人的邮票数变得同样多。这就把原本复杂的和差问题，转化成了如何求两个量同样多的问题。其实，这个问题在二年级上册第一单元的教学中曾出现过。一题多解可以探寻到知识间的内在联系，提升解题能力。

（二）抓住新旧知识连接点，提升解题能力

【案例】《长方形正方形面积计算》一课教学片段

请想办法求出下面长方形的面积。

1.研究学习单

提问：用面积1平方厘米的小正方形摆几个、怎样摆可摆成长方形？填一填。

总结：小正方形的总個数=每排个数×排数

2.总个数与长方形面积关系

提问：为什么摆了15个小正方形，面积就是15平方厘米呢？

总结：总个数（相当于）长方形的面积。

3.长方形的长、宽与每排个数、排数之间关系

提问：观察“每排个数”与长方形的长，你发现了什么？

总结：每排个数（相当于）长方形的长。

提问：“排数”与长方形的宽，你又发现了什么？

总结：排数（相当于）长方形的宽。

4.公式推导

5.正方形面积公式推导

师：你能根据长方形的面积公式推导出正方形面积公式吗？

“长方形正方形面积公式”是“空间与图形”领域的内容。通过这个案例我们可以发现，公式的推导过程学生都根据了已有的知识。在二年级，学生学习了总个数=每排个数×排数。要想解决长方形的面积计算公式，教师可以抓住新旧知识间的连接点，把新知识嫁接旧知识，用旧知识同化新知识，充实、扩大了原有的认知结构。引导学生明白：总个数相当于长方形的面积，每排个数相当于长方形的长，排数相当于长方形的宽，很自然得到了长方形面积公式=长×宽。其实像这样的例子还有很多，梯形面积推导公式，圆面积推导公式，等等，带着学生经历推导的过程比单纯的死记硬背，知识掌握得更牢固，运用自己推导得来的公式，解决实际问题会更加灵活。

数学知识体系不是由一块块知识机械地堆砌而成的，而是按照它们之间特定的内在联系组成的结构系统。每一部分数学知识既是前面旧知识的延伸和发展，又是后续新知识的基础和铺垫。因此，我们在教学时应从整体着眼认真钻研教材，注意寻求教材内容的内在联系，把握这种内在联系所构成的数学知识结构，让学生通过操作、观察、类比、联想等认识活动，内化为他们自己的认知结构，使知识系统化、条理化，形成立体的知识网络，以拓宽学生的思路和知识面，达到提升解题能力的目的。