“数学建模”的教学新模式———以“羽毛球筒的包装问题”教学为例

周青燕

数学建模是借助抽象的数学符号来代表现实中的问题，然后通过找到数学问题的解决方法，进而确定出针对最初现实问题的适当解决方案。这个过程可以理解为现实世界和抽象数学符号世界之间在进行交互作用。笔者查阅了大量资料，发现在过去的建模教学研究中，一线教师对“相遇问题”“植树问题”“盈亏问题”这样某一类应用问题研究较多，研究对象都是从现实生活中抽象出的理想化的数学模型。能不能通过研究更贴近生活的数学问题，考查学生对于一个综合性问题的解决能力处于什么水平呢？笔者进行了以下尝试。

【教学目标】

1.通过小组合作观察、测量、计算，探究发现设计羽毛球筒的方法。

2.通过讨论，用测量得到的数据计算出羽毛球筒的高度，发现计算羽毛球重叠后的高度的方法。

3.通过阅读提取数学信息，找到解决生活中数学问题的方法。

【教学过程】

一、情境引入，激发兴趣

师：迪迪在学数学时碰到了一些问题，让我们一起探讨：羽毛球在出售的时候都是12个叠紧放在一筒出售的，迪迪家里有三个羽毛球，他想用这三个羽毛球、卡纸、吸管、剪刀、直尺、三角板等工具，设计出一个能装12个羽毛球的圆柱体的羽毛球筒。请同学们先独立思考找方法，然后合作解决问题。

1.独立思考。

师：借助卡纸、吸管、剪刀、直尺、三角板等工具，你有什么好办法解决问题？

2.合作探究。

师：用你们认为好的办法进行测量，可以一个小组独立完成，也可以组间合作。有需要记录的可以记在纸上。

师：如果有时间，尝试用不同的方法解决这个问题。

【设计意图：这个问题相对于习惯解决传统建模问题的学生来说难度很大，如果设计分步操作教学，反而打乱了学生解决问题的思路，增加了学生的操作负担。直接给学生充分的时间解决问题，让学生在小组合作操作中不断进行试错、纠错实践，在实践中提炼方法，让学生自己体会建模工作，从而对数学问题有更深地理解。在此过程中，教师将学生分组，以小组的形式进行建模相关工作，从而培养学生的团队精神及表达能力。】

二、交流反馈，建立模型

1.直径的测量结果。

师：为什么测量羽毛球羽毛部分的直径？

师：量出来的结果是多少？你们是怎么量的？量的时候有一点误差是正常的。有不同意见吗？

2.交流反馈羽毛球筒的高度。

方法一：

生：量一个羽毛球的长，量羽毛球底座的长。（关注测量斜的与正确测量的纠正过程）

师：为什么要测量底座的高度？

生：羽毛球叠起来之后底座高度就是羽毛多出来部分的长度。（如下图）

（板书：一个羽毛球+11个底部）

方法二：

师：还有没有同学不是测量这两个数据，也得到了筒的高度？

（板书：一个羽毛球的羽毛部分+12个底部）

师：这两种方法有什么一样的地方吗？

师：与他们方法一样的同学，说一说测量结果是多少？

师：造成这样的测量误差的原因会在哪里？测量一个羽毛球高度的时候要注意什么？

生：测量方法还不大准确。

（呈现测量错误的视频）

小结：我们发现，解决一个复杂问题的时候，可以把它转换成几个简单的步骤，一步步找到方法去计算，从而解决问题，测量时尽可能地减少误差。

【设计意图：动手实践、自主探索、合作交流是学习数学的重要方式。因此，在上一个环节教师给学生充分的时间与空间。这个环节根据学生不同小组的学习能力，进行分层级汇报：能力强的学生可以汇报多种解决方法；能力较弱的学生可以借助学习材料说说自己与正确方法的差距。通过全班交流，发现计算羽毛球筒高度的方法。这样安排可让学生在充分交流中体验羽毛球筒与羽毛球的关系，在反馈时重方法建模，同时关注测量方法导致的结果误差。】

3.练习。

测量出一个某品牌羽毛球的高度是85毫米，底部高25毫米，怎么计算能装12个羽毛球的筒的高度？

4.小结。

师：通过刚才的探究，你有什么想说的吗？（测量方法要正确，尽量减少测量误差）

【设计意图：通过这样的练习和小结，再次建立解决羽毛球筒高度和单个羽毛球高度之间的关系，建立数学模型。】

三、提出问题，丰富模型

师：根据这些数学信息，请你先提出一个简单的数学问题，再提出一个富有挑战性的问题。

1.学生独立完成后小组交流，推荐小组认为最有水平的数学问题，投屏显示，汇报交流。

2.组内成员相互解决对方提出的问题。

【设计意图：学习过程中考虑到不同学生的需求，为有困难的学生提供学习的支架，允许不同程度的学生提出不同层次的问题，使“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”成为可能。在简单问题的解决中，学生会提出模型的正向使用的问题，在复杂问题中对模型进行逆向运用。】

四、交流小结，应用模型

师：解决这个问题对你有什么启示？在以前的学习中碰到过类似问题吗？和什么问题是比较像的？

生：这是一个重叠问题。

师：说一说杯子、碗怎么计算叠起来之后的高度。你能说出它们之间的关系吗？

师：根据现实情境，请你先提出一个简单的数学问题，再提出一个富有挑战性的问题。

【设计意图：在数学建模应用实践时，教师需要对学生进行一定的启发与引导，使学生可以将生活中熟悉的场景与数学教学内容进行联想，通过这种方式，学生在今后可以利用数学建模等方式解决现实生活中的数学问题。】

【实践反思】

本次教学实践将一个生活中遇到的数学问题完整呈现，让学生充分操作解决问题。通过教学实践第一次走出了传统建模教学，同时也深深体会到了生活应用建模教学中，教师尤其需要做好问题的预设工作，且需要关注以下三点：其一，实践性。在应用实践过程中，将生活中的素材问题融入到教学工作中，从而使学生可以对相应内容轻松理解，并且可以通过学生自己的认知及生活经验对问题进行分析，从而解决相应数学问题；其二，主体性。在进行应用实践过程中，教师需要充分发挥学生的主体地位，让学生亲身体会建模，从而对数学问题有更深地理解。在此过程中，教师可以将学生分组，以小组形式进行建模的相关工作，从而使学生的团队精神及表达能力得到培养；其三，典型性。由于小学生自身认知能力等方面的情况，数学建模应用实践过程中需要对其典型性提供保障，从典型模型中学生可以更好地理解教师教学过程中所要表述的内容。

除此之外，在数学建模应用实践时，教师需要对学生进行一定的启发与引导，使学生可以将生活中熟悉的场景与数学教学内容进行联想，通过这种方式，学生在今后可以利用数学建模等方式解决现实生活中的数学问题。很多情况下，学生无法发现生活中的数学问题，因此也无法形成相应的数学意识，不能利用数学手段解决生活中的问题，基于此，教师通过建模方式可以将数学问题与实际进行更好地联系，提高学生利用数学建模思维及策略解决实际问题的意识与能力。在数学建模应用实践的过程中，教师需要调动学生的参与热情，并且对学生发散性思维进行培养，从而使学生可以利用丰富的方法及发散思维进行数学建模，提高数学建模应用实践的质量与效果。