教材的专业化解读与教学设计策略———以《长方形面积计算公式的推导》为例

潘小福（特级教师）

关于长方形面积计算公式的推导，苏教版教材共编排有三个例题。这三个例题的编排有什么特点？如何专业化解读，并进行针对性的教学设计呢？

一、例题4的教材解读与教学设计

例题4，让学生分小组任意摆3个小长方形，然后填写表格，但是教材没有像例5、例6那样，用大卡通来引导思考的方向。摆长方形后，学生要思考什么？教师也较少去思考摆长方形的目的是什么？

一般地，数学教学中，任何一个实践操作活动，都应该有一个思维的方向，也就是通过操作，思考什么？所以，在解读教材时，要理解教材的编写意图，即要用一个“启发式提问”引领学生的思维方向，指导学生的实践操作。我想，这里可以用“你有什么发现吗？”这个问题来引领，而且这个问题应该在学生操作之初就提出。这是例题4教学的第一个问题。

例题4教学还有第二个问题，即教材提出“小组合作”，“小组合作”是一个笼统的概念，分几人小组？小组里的同学如何分工？要如何表达小组学习的成果？……这些问题都需要进行教学法的规划和设计。一般地，教师在教学例4的时候，往往会采取两种方式，一种由小组合作转化为每个学生操作——摆3个长方形，而这样的教学设计，让每一位同学都动手操作，摆出3个小长方形，往往会占用比较多的课堂学习时间。如果经常采用学生个性化的独立操作，学生的自主操作能力较强，则可以尝试；如果学生操作能力一般，在课的起始阶段，就让学生占用过多的课堂学习时间进行操作，则会使得课堂沉闷，也会影响整节课的推进节奏，学习效率不高。另一种，则是用小组合作的形式，一般采用4人小组的形式。采用这种方式，这4人小组要进行适当的分工，例如，先合理安排，如何摆，如何记录，如何思考，再推选一个人记录填表，其他3个人各摆1个。在整个小组学习的过程中，每个小组的组长要做好组织、协调工作。

在例题4的教学过程中，最为关键的是在学生自主学习展开后，学生已经形成了个性化的认知，但还不是很成熟、完善时，如何有效组织学生的互动交流，这是推进教学、提升学生认知和思维的关键。在这里，首先要注重收集学生的学习“资源”，所谓“资源”即是在前期学习过程中，对“你有什么发现”的学习成果的“表征”，可以用文字，也可以用图形等其他形式由学生表达出来。教师教学时，往往会一个一个地让学生说一说自己的发现，这样只有少数的学生参与到课堂交流之中，因此，此时最好精心选择一组有典型性、代表性的学生的学习成果记录单。何为典型性、代表性呢？即是教师在解读教材时期望出现的“学生的发现”都能很好地呈现出来的学生的学习记录单：

1.可能发现，含有几个小正方形，它的面积就是几平方厘米，这是旧知，上一节课已经学过。

2.还可能发现，横排里摆几个，长就是几厘米，竖排摆几个，宽就是几厘米，这个发现是这堂课要让学生体会的。体会到长方形的面积和长方形的长和宽是有关系的。

3.进一步的发现，可能是长方形的个数是它横排的个数乘竖排的个数。这个发现，对后面长方形面积公式的发现和推导是一个非常直观的呈现。

这三个发现，就是例题4的学习目标，而且，这三个发现形成一个不断递进的序列，这样的序列可以引导学生的认知不断走向深入。如果有一张学习单中有这三个发现，那就是具有典型性和代表性，如果未能发现，则可以汇总学生的发现，由教师组合在一起呈现。

呈现这样有结构、有序列的学生学习“资源”后，就可以引导每一个学生围绕着下面的问题展开互动交流，促进认知的深化。

1.你理解这三个发现吗？

2.这些发现都合理吗？

3.把这三个发现与自己小组的发现对照，比一比，有什么不同？

通过这三个问题的互动交流，学生对刚才的自主学习活动过程进行了一次深度反思，引导着学生的思维不断深刻，形成对长方形的长与宽决定着长方形面积的大小的关系认识，并初步猜想，长方形的面积就是长方形长与宽的乘积。这样的教学设计还改变了课堂中“师——生”单一的对话交流方式，让更多的学生参与到课堂学习过程之中，让更多的学生获得学习的主动权。

二、例题5的教材解读与教学设计

例题4的教学，让学生充分交流后，教师顺势提出：你还有什么发现吗？引导学生提出：长方形的面积计算就是长乘宽。教师追问：这样的发现是不是正确呢？于是，过渡到例题5的教学：接下来，我们继续研究长方形的面积计算。用这样的方式来推进教学，既符合知识的展开逻辑，又契合学生的认知需求，让课堂教学的推进很有节奏感。

于是，教师先给出1个长方形（例题5第1个长方形），要求用小正方形量一量：它的面积是多少呢？让学生用面积是1平方厘米的小正方形自主量，并把量得的结果记录在长方形的边上。然后，教师并列呈现学生的“资源”：一种是摆满了的，第二种是横排摆一行，竖排摆一行。

在组织交流时，可提出以下三个问题：

1.他们都量对了吗？（都是12平方厘米，都是对的）

2.他们的量法有什么不同？（前者是摆满了的，后者没有摆满）

3.为什么第二种摆法也能得到12平方厘米呢？（因为可以用每排摆的个数乘以排数）

这三个问题，串联起学生自主的思维，得到这样的认识：用面积是1平方厘米的小正方形量长方形的面积，只要先量长方形的长有几个小正方形，再量长方形的宽有几个小正方形，就可以用横排的个数乘竖排的个数算出长方形含有几个小正方形的个数，也就是长方形的面积是几平方厘米。

学生对这三个问题的认识是推导得出长方形的面积计算公式的最为关键的基础。正是如此，需要让每一个学生深刻领会这样的思维方法，因此，在交流结束后，教师再提出：你会用这样的方法再量一个长方形的面积吗？（让学生量例题5第2个长方形）

教师在小结这一段教学时，要特别提出：刚才那位同学提出，长方形的面积可以用长乘宽来计算，在这里是否又一次的得到验证？是否真的如此呢？我们需要再一次深入思考。

三、例题6的教材解读与教学设计

在例题5教学的小结后，教师顺势推进到例题6的教学，教师出示例题6，提出：下面长方形的面积是多少平方厘米，你是如何想的呢？

学生一番思考后，会纷纷给出答案：14平方厘米。绝大多数学生会直接根据长乘宽来计算，即用7乘2得出长方形的面积是14平方厘米。此时，教师就顺势提出:为什么可以用7乘2呢？它的道理是什么？让学生充分表达思考过程，引导学生从“实际摆”，到“想摆”，初步形成“长方形的面积其实就是长乘宽”的认识。

但是，在学生经历长方形面积计算公式猜想的验证过程后，不宜立即就给出结论，教师应再出示几个方形，标出长和宽的长度，让学生再想一想，为什么只要用长乘宽就可以得到长方形的面积。

至此，教师提出：长方形的面积与什么有关？可以怎样求长方形的面积？让学生经历长方形面积计算公式的数学化表达的过程，体验数学语言表达的简洁、规范。

回顾例4至例6这样三个例题的教学，有两条线索推进着教学的展开，第一条线索：通过摆小正方形来体会长方形的长，就是小正方形横排的个数，长方形的宽，就是小正方形竖排的个数。含有几个小正方形的个数，就是长方形的面积。用这样的“实际摆”，到后来的“简摆”，再到后来的“想摆”，引导学生体验得出，长方形的面积就是长乘宽。这是教师主导的主动引领学生体验的教学线索。同时还有一条线索，首先学生自主提出猜想：长方形的面积是长乘宽吗?然后进一步来理解、推导、验证，得出结论：长方形的面积=长×宽，这是一条学生自主探究的学习线索。两条线索交织在一起，有力地推进教学，使得教学的展开与推进，既符合知识的科学逻辑，又与学生的认知规律相吻合。

四、由长方形面积计算公式推导联想到整个平面图形面积计算公式推导的教材解读与教学设计

苏教版教材有关平面图形面积计算公式的推导，都是类似地出现了这样三个层次的教材编排。这对我们进行以“类”推进，长程规划数学教学，对学生数学素养的提升有着很好的促进作用。

图1

例如，平行四边形面积公式的推导（见图1）。教材首先提出：下面每组的两个图形面积相等吗？让学生理解，转化前后，形状改变但面积不变。紧接着提出：你能把平行四边形的面积转化为长方形吗？其实是“有向转化”，所谓“有向”就是朝着长方形的方向，要根据长方形的特征来进行转化：沿高相剪，得出直角。最后，每个同学自选一个平行四边形，转化成长方形并求出长方形和平行四边形的面积，在小组交流后，推导出平行四边形的面积计算公式。

再如，圆的面积计算公式的推导（见图2），其实也是分这样三个层次：

第一步，给出一个圆，“你能用数方格的方法算出圆的面积吗？”教给学生数小格的方法。接着，继续给出2个大小不同的圆，让学生数一数，填表格后，让学生感受到圆的面积和半径是有关系的。教师继续提出：圆面积与它的半径有什么关系？随后，教师可以让学生把圆等分16份、32份、64份，引领思考：拼成的长方形与原来的圆有什么关系？ 让学生感受到长方形的面积与圆的面积相等，长方形的宽是圆的半径，长方形的长是圆周长的一半。在此基础上，得出圆的面积的公式。

图2

苏教版教材平面图形面积推导公式都是类似地用这样三个例题来展开的，体现出了同一类型的知识，它们有相同的课堂推进的结构。这样就可以通过回顾反思，例如在长方形面积计算公式推导时提炼研究学习平面图形面积计算公式推导的一般方法，继而在研究学习其他平面图形面积计算公式的推导时进行巩固、应用。让学生既获得知识、技能，又能通过丰盈的学习过程，积累数学活动的经验，感悟数学思想方法。