在失败中反思在反思中提升

丁强

摘要：当学生在学习中遇到失败时，教师应引导学生在失败中反思，提升思维能力，从而使学生成为主动学习者。新授课中，反思式教学是极为有效的方式之一，它能较好地体现学生的主体地位。展开反思式学习，能培养学生的批判意识，增强学生的目标意识，强化学生的归纳意识。

关键词：失败；反思；提升

中图分类号：G633.63文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）17-069-2

在解题中遭遇失败是难免的。如何在失败中吸取教训，寻找正确因素，分析失败原因，应当成为每个解题者的自觉行动。作为教师，我们更应当在这方面为学生做些引导性工作，引领学生在失败中进行反思，学会调整修正，提升思维能力，培养学生提高解题分析和解题智慧的自觉性。笔者在两角和的余弦公式的证明教学中，尝试让学生自觉反思，逐渐体悟解题思路的调整过程，提升思维能力，效果明显。现写出来与大家共同探讨，并请大家指教。

一、案例呈现

《两角和差的余弦》教学片段——公式的发现与证明

师：任意两角α，β之和α+β的余弦cos（α+β）=？

生：cos（α+β）=cosα+cosβ（大胆猜想）

师：你能证明或举出反例吗？（激发反思）

生：cos60°=cos（30°+30°）=12，但cos30°+cos30°=3，显然不对。

师：同学们能根据一些特殊值重新猜想cos（α+β）吗？

生：cos60°=12，cos30°=32，sin30°=12，而12=32·32-12·12，我猜想为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ（修正猜想）。

师：你能证明你的结论吗？

学生自主证明中出现下面一种“错误”证明（如右图）：

在△P1OP3和△AOP2中，因为OA=OP1=OP2=OP3=1，∠AOP2=∠P1OP3，所以△P1OP3≌△AOP2，所以P1P3=AP2，所以[cos（α+β）-cosα]2+[sin（α+β）-sinα]2=（cosβ-1）2+sin2β，化简得2-2cosβ=2-2cos（α+β）cosα-2sin（α+β）sinα，

所以cosβ=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα①

这时，学生发现没能证出cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，于是又调整用△AOP1≌△P2OP3所得的AP1=P2P3，同理证得：cosα=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ，又失败了！

（学生已处于困顿与愤悱的状态，急待引领反思）

师：对①而言，你认为证明中成功在哪里？失败在哪里？你想要什么？

（一般性提问，激起反思，进一步明确目标，引导修正）

生：成功在所需要的角α，β，α+β都出现了；失败在α+β出现了sin（α+β），β中的sinβ没有出现，我想要cos（α+β）单独出现一次不与cosα混在一起。

师：有角的三角函数单独出现的吗？它为什么能单独出现？对你有启发吗？（一般性提问，诱导学生类比发现）

生：cosβ单独出现，因为P2（cosβ，sinβ）与A（1，0）形成距离，sinβ被sin2β+cos2β消去了。（顿悟）如果我也将P3（cos（α+β），sin（α+β））与A（1，0）形成距离就能达到目的了。（完成修正）

生（继续探究）：要寻找一个与△AOP3全等，且用到α，β夹角为α+β的三角形，于是便有图1，利用AP3=P1P4，证明如课本；图2，利用AP3=P2P5同样证明可得。（证明略）

在反思过程中，还有学生从另一个角度反思①式，认为β=（α+β）-α，故可形成两角差的余弦公式cosβ=cos[（α+β）-a]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，若令α+β=γ，则β=γ-α，上式即为cos（γ-α）=cosγcosα+sinγsinα。

二、对案例的感悟

两角和的余弦公式的再现和证明一直是教学的难点，历年来教师讲授的效果都不太理想。在教学中采用上文的方法，让学生参与发现，遭遇失败，尤其注重用一般性启发式问句，帮助学生从学习解题策略的高度去思考，而不斤斤计较于解题技巧，从而具备了一般的方法论意义。着重培养学生在失败中反思，分析错误，提升能力，自主建构，成为学习的主动者。教学中学生能分析失误原因，在失败中寻找正确因素作为借鉴，学会抓住问题的主要矛盾，学会选择策略（数或点的组合），使思维由无序变有序，效果明显。

三、对组织反思式学习的思考

人是自我组织的复杂系统，学习是一个认识的过程。只有积极主动的学习，才是最有效的学习，反思是学习的主动形式，反思式学习是最有意义的主动学习。它对培养学生思维品质、科学精神有着极为重要的价值。

展开反思式学习，可以培养学生批判意识。通过对解题可能途径的反思比較，选择相对简洁明了的可行方案。这样，学生在认为思维目标恰当，思维策略适宜的情况下，更容易调