经历图形研究 体悟概念生成

周海东

摘 要：概念教学需要以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各实例的属性，抽象概括共同本质属性，从而归纳形成数学概念.概念的建构必须着眼于数学现实，概念的理解需要经历数学思考，概念的应用需要体悟数学抽象.

关键词：图形研究；数学思考；概念教学

笔者执教苏科版义务教育教科书《数学》八年级上册《全等图形》一课时，通过建构操作活动，引领学生经历图形研究的过程，体悟概念生成，收到很好的教学效果，受到同行的一致好评.现将课堂实录及感悟整理成文，与同行交流研讨.

一、课堂实录

（一）用数学的眼光看世界——对全等图形的初次触摸

师：德国数学家莱布尼兹曾说过：“世界上没有两片完全相同的叶子.”

【解析】用数学的眼光来看这两片叶子，我们不再关注它作为生物的一种特性，只关注它的数量关系和空间形式.

（演示课件）师：如果把这两片叶子叠合到一起去，你会有什么发现？

生：重合！

师：你能再举点这样的例子吗？

生：比如黑板、教室的窗户等.

师：这一类图形有何特质？

生：通过平移或旋转后会重合.

师：能完全重合的图形称为“全等图形”.

【解析】学生对现实世界中的全等现象是熟悉的，但对其数学属性并不了解，因此，笔者设计了用数学的眼光观察世界，引导学生从一类图形的共性特征中抽象出全等图形的概念.

（二）用数学思维思考问题——对全等图形的三度辨析

1.眼见未必为实——对图形全等的首度辨析

探究活动1：观察与验证.

师：如图1，观察下列图形，请找出其中的全等图形并连线，再运用实验材料进行验证.

师：你是怎么找到的？

生：目测.

师：眼见未必为实，你有办法来验证吗？

生：旋转透明纸上的菱形，发现它们能够重合.

师：非常好，请坐！要判断两个图形是否全等，只要把它叠合到一起去，看是否完全重合.但是这个图形是拿不出来的，利用透明纸把图形“拿”出来比较，就可以判断了.

【解析】纸上呈现的图形是不可移动的，学生只能依靠“目测”来判断，但这种“目测”并不严谨.因此，笔者通过提供和图1完全一样的透明材质的操作材料，引导学生通过数学实验将图形运动从不可操作转化为可操作，真正让学生经历图形研究的过程.

2. 逆向亦或为真——对图形全等的再度思考

师：如果把一个图形平移（如图2），平移后的图形跟原图形全等吗？

生：是.

师：为什么？

生：因为平移时没有改变图形的形状、大小.

师：如果旋转后像图3这样全等吗？

生：也是.

师：翻折后像图4这样呢？

生：也是.

【解析】从人的思维角度而言，既然判断图形是否全等可以借助平移、旋转、翻折来验证图形是否重合，那么反过来呢？结论还成立吗？

3.本质越辨越明——对图形全等的深度辨析

探究活动2：同一张底片冲印出来的1寸照片和2寸照片.

师：这两张照片是全等图形吗？

生：不是，大小不同.

探究活动3 ：如图5，下列两个由三个边长为1的小正方形组成的图形全等吗？

生：不是，因为它们形状不一样.

师：那么你有办法让它们变成一样吗？

（学生上台操作，如图6）

师：这个方法很好，有其他办法吗？

【解析】通过控制形状和大小这两个变量让学生深度理解概念.

（三）用数学语言表达问题——对全等关系的深入研究

1.复杂中抽象基本，训练学生识图技能

探究活动4： 操作与实践.

师：如图9，观察图形，你能找出图中的全等图形吗？

（学生小组活动）

生：可以找一下对称轴，依据对称轴可以找出对称图形.比如说竖着的，横着的也行.

师：怎样才能不重复和遗漏呢？

生：我们对它进行分解或分类.

师：最小的三角形有幾个？

生：12个.

师：再找哪个？

生：边长为3的三角形有6个，最大的三角形有2个.

师：三角形找完了，应该找……

生：四边形.

师：（边演示边说）还有梯形，还有更大的梯形，还有最大的梯形……还有不规则的图形，同学们可以找出非常多的全等图形，如图10.

师：找全等图形时需要把握什么样的特征呢？

生：我认为是形状相同，大小也要相等.

师：很好，你抓住了全等图形的基本特征.

【解析】通过这样的识图训练，一方面可以让学生在概念的形成过程中提升自己的思维能力，因为只有在思维过程中获得的经验才更有价值；另一方面，可以让学生进一步体悟分类讨论的思想.

2.运动中感悟本质，培养学生空间观念

探究活动5：操作与实践.

师：如图11，图中② 是由①经过怎样的运动得到的？

生：向右平移5个单位.

师：按照这样的规律，你能在操作纸上画出下一个图形吗？除了平移，再进行翻折又是怎么样？

生：图12中的③是由②继续向右平移5个单位得到的.

生：图13中的③是由②继续向右平移3个单位，然后翻折过来得到的.

师：如果先翻折再平移是不是一样的呢？

生：是.

师：那图14呢？谁来说说？

生：由图①先顺时针旋转90°得到图②，再由图②旋转90°并翻折过来得到图③.

师：你观察得非常仔细.运动只是改变了图形的位置、形状和大小不变.今后我们将会经常用运动的视角来研究图形，运动前后的两个图形全等.

【解析】笔者设计了“描述图形的运动和变化，并依据语言的描述来画出图形”这一操作活动，让学生尽可能多地观察、操作、类比，从而发展学生的空间观念.

3. 变化中寻找不变，体悟数学抽象思维

小组讨论：如图15，你能用不同的方法，沿网格线将正方形分割成两个全等的图形吗？

（学生小组合作，5分钟后学生上台演示，展示成果，如图16）

师：说说看，你们是怎么找到这些分割线的？

生：我们是一条一条试出来的.

师：有没有一般的方法呢？

（生沉默）

师：横向与纵向其实是一样的，因此，我们只要找到一个方向就可以了.我们不妨选择横向.大家仔细观察一下，分割后两个图形是什么关系？

生：全等.

师：这些分割线都经过一个什么点？

生：中心点.

师：你能想清楚为什么吗？

生：因为分割后的两个图形经过旋转是能够重合的.换句话说，这个分割线也一定被中心点分割成两个全等图形.

师：你的发现真妙！其实我们寻找分割线，就是要找从左侧边界上的点到中心点的连线就可以了.如图17，这两个点之间沿网格线有几条可连的分割线呢？

生：四条.

师：还有别的发现吗？

生：左侧中间那个点与中心点之间也有两条可连的分割线.

师：同学们再画时，是不是就简单了？只要画出左半边的分割线，根据全等图形的特征，另外半边就马上可以补出来了.

【解析】引导学生在变化中寻找不变，由全等的概念展开联想，从而抽象出两个点之间的连线，让学生经历数学思考的过程，从而提升学生的思维能力.

二、教学反思

本节课是《全等三角形》单元的起始课，又是学习平面图形关系的引言课，隐含地指出平面几何的研究对象是图形的形状和大小，把对称、平移和旋转作为研究平面几何的基本工具，把图形的分割与拼接作为研究平面几何的基本方法.

（一）概念的建构必须着眼于数学现实

概念教学的核心是概括，需要以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各实例的属性，抽象概括共同本质属性，从而归纳形成数学概念.对全等图形数学特质的描述是一个看似简单、却又有丰富内涵的过程.教材将全等图形的概念描述为“能够完全重合的图形称之为全等图形”，其特征为“形状相同、大小相等”.那么，为什么不直接将全等图形定义为“形状相同、大小相等”呢？笔者认为，根源在于难于进行观察和运算，用数量关系来描述图形的形状、大小的难度要比“重合”要高.从这个意义上来说，图形全等的数学本质就是“重合”.因此建构“全等图形”的概念必须引导学生用数学眼光来观察身边的“重合”现象，从而提炼出这一类图形的共性特征.

（二）概念的理解需要经历数学思考

就教师而言，“全等图形”无疑是一个非常简单的概念，但这种“简单”其实是我们在数学学习过程中历经千辛万苦、长期积累才得到的.由于数学概念的高度抽象性，学生对貌似简单的数学概念往往需要费很大周折才能真正理解.如果忽视这一点，就会造成教师以为学生很懂，而学生实质“懵懂”的教学现象.因此，在教学中，教师必须要追溯概念本源，展现其形成过程，充分挖掘概念的内涵和外延，帮助学生理解全等图形的特征.

本课例首先借助“数学实验”帮助学生从感性上来体悟图形的全等.由于缺少对图形的数量关系的描述，学生对于两个图形是否“完全重合”的判断只能依赖目测，猜想图形“全等”.这种验证方法并不可靠.显然，印在纸上的平面图形无法运动，但是，借助数学实验材料——透明纸，就能实现图形的平移、旋转、翻折，从而判断图形是否全等.

其次利用“逆向思維”建构认知冲突来思辨概念.既然可以用平移、旋转、翻折的方法来检验图形是否重合，那么平移、旋转、翻折后的图形是否和原图形全等？这样的想法自然产生，而通过对这个问题的说理思辨可以让学生进一步加深对“完全重合”这一概念的理解.

最后通过控制“形状”“大小”这两个变量来挖掘概念的内涵和外延.笔者先利用“同一底片”来控制形状，再“利用3个边长为1的正方形”来控制大小，让学生感悟“完全重合”的特征就是“形状、大小相同”，而形状、大小是可以用数量关系来描述的，通过有趣且有效的数学活动让学生深度理解全等图形的特征.

（三）概念的应用需要体悟数学抽象

数学抽象要以基于感知和操作所得到的知识经验为基础，通过典型实例引导学生比较、分析，充分讨论、理解归纳共同属性.本节课站在系统思维的高度引领学生经历图形研究的过程，体悟概念生成的基本方法.一是通过从复杂图形中抽象出基本的全等图形，培养学生的识图能力，感悟分类讨论的数学思想.二是根据图形变换规律画图，让学生在画图过程中描述图形的运动和变化，并依据语言描述来画出图形，发展学生的空间观念.三是沿网格线分割正方形，借助一个有挑战性的活动来积累图形研究的经验，笔者在教学过程中引导学生从他们所画的图形中寻找共性，进而引导学生发现所有的分割线均隐藏在三个特殊“点”之间的连线上.