一堂初三专题复习课的三次备课经历与教学感悟

☉江苏省无锡市太湖格致中学 尤晓珍

☉江苏省无锡市滨湖区教研中心 王华民

☉江苏省无锡市太湖格致中学 周建平

在2018年3月召开的无锡市初三数学教学研讨会上，笔者执教了一堂专题复习课——一线三等角，经历了三次备课、试讲及教后反思，对复习课教学有了进一步的认识.以下简要记录几次备课的设计方案，呈现设置意图及优点和不足，从中获得不少感悟，与数学同行分享.

一、三次备课经历

【第一次备课简案】

（一）导入

观察图形，如图1，当∠A=∠B=∠CPD时，△CAP与△PBD有什么关系？

图1

（引导学生得出△CAP △PBD及相似的理由）

（二）模型

（1）常见“一线三等角模型”图谱（如图2）.

（2）所谓“一线三等角模型”，即两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角”型相似三角形.（通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般会存在相似三角形）

图2

（三）载体

（1）等腰或等边三角形底边上的“一线三等角”模型（如图3）.

图3

（2）矩形或正方形中的“一线三等角”模型（“K”字型）（如图4）.

图4

（3）平面直角坐标系中的“一线三等角”模型（如图5）.

（四）应用

例1 如图6，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D、E分别在BC、AC上，连接AD、DE，使∠1=∠B.

图5

图6

（1）当BD=2时，求线段CE的长；

（2）求线段CE的最大值；

（3）当△ADE为等腰三角形时，求BD的长.

例2 （2017年无锡中考副卷第28题改编）如图7，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放于P处，三角板的两直角边分别与AB、BC边相交于点E、F，连接EF.

图7

图8

（2）将三角板从图7中点的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止.

①∠PEF的大小是否发生变化？

②写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长.

例3 在平面直角坐标系中，如图9，直线l1∶y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB沿l1翻折，求O的对称点P的坐标.

图9

（五）总结

1.“一线三等角”模型提炼、变式和运用；

2.从复杂图形中提炼出基本图形、快速灵活运用基本结论、反思、拓展.通过知识间的串联，找出一些通性、通法，提高解题效率.

（六）拓展

（2015年无锡）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点分别为 O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.

（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.

【设计意图】设计环节由导入、模型等六个环节组成，清晰明了，用了一个具体问题导入，引导学生探究图形中的相似三角形，提炼出“一线三等角”模型，力求帮助学生认识图形及巩固对图形的认识，为之后从复杂图形中抽象模型做铺垫.载体为常见的“一线三等角”模型的背景图，出示最常用的三角形、四边形以及平面直角坐标系，其中矩形或正方形中的“一线三等角”模型就是学生熟悉的“K”字型.应用部分与载体部分匹配，各出一个相应例题，直观清晰，利于学生准确掌握.

不足点：上课伊始就出现“一线三等角”的模型，显得较为突兀.其一，对学生而言，直截了当地呈现模型，学生没有体验，不清楚为何要学习“一线三等角”.

（1）如图8，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长.实践证明，如果不明白学习的必要性，学习的效率自然要打折扣.其二，拓展部分链接中考，虽与“一线三等角”有关，亦能通过其他方法求解，并不能体现此法解决问题的必要性和唯一性.因此放于此处价值不高.其三，教师铺设太多，学生思维训练尚不到位，似乎缺少了思辨的味道.

根据备课组同行提出的上述不足点，笔者进行第二次备课.

【第二次备课简案】

（一）情景再现

问题：（滨湖区初三期末卷第27题）如图10，在等边△ABC中，D是BC边上的一点，把△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕为MN，

图10

（通过学生的回顾、解答，抓住解题过程中的关键词相似、“三等角”，凸显解题方法——运用相似解决三角形中的边角关系问题）

（二）抽象模型

点P在线段AB上（如图2）.

点P在线段AB的延长线上（如图11）.

图11

（三）问题探究

问题：第一次备课的例1，减少（3）.

变式1：第一次备课的例2，减少（2）中的②.

变式2：（1）第一次备课的例3；

（2）直线l2过点P，且与直线l1的夹角是45°，求两直线l1、l2的交点的坐标.

（四）回顾反思

1.“一线三等角”模型的特征，以及模型的提炼、变式和运用；

2.从复杂图形中提炼基本模型、快速灵活运用基本结论、反思、拓展.

（五）课后思考

1.如图12，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，有∠MDN=∠B，请找出图中所有的相似三角形.

图12

变式1：在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC上任一点，∠MDN=∠B.若DM⊥AB，是否有可能使S△DNC=4S△DMB？如果有可能，求BD的长.

变式2：在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC上任一点，∠MDN=∠B.若BD=4，是否存在这样的位置，使△DMN成为直角三角形？若存在，求BM的长.

【设计意图】第二次备课是以无锡市滨湖区初三上学期期末数学试卷的第27题作为导入，是基于以下考虑，其一，出示熟悉的考试题，让学生有一种亲切感，便于唤醒记忆，激发兴趣；其二，通过回顾较难问题的解法，从等边三角形中逐步抽象出“一线三等角”模型，让学生体会到学习这一模型的必要性和现实意义；其三，有利于培养学生的数学核心素养——数学抽象.等边三角形是强条件，在此基础上弱化条件——等腰三角形，只要底边上出现一个与底角相等的角，就可以得到一条直线上的三个等角，由三等角可得相似，进而能研究三角形中的边角关系，以此让学生觉得有必要深入研究“一线三等角”模型.紧接着呈现“一线三等角”两类图谱，让学生找出其中的异同点，显得非常自然，当然本课侧重于研究第一类常见图谱.让学生了解“一线三等角”模型可以把复杂的数学问题变得直观、简洁，便于归纳和内化，有助于探索解决问题的思路.

在问题探究环节，有两条主线.一是以“一线三等角”使用过程中的载体不同，分为三角形、四边形，当然它还能跟其他的如梯形、圆、抛物线等相结合，但都能回归到三角形、四边形这样的基本图形.而把平面直角坐标系单独分为一类，是因为得到相似后它有自己独特的处理方式——坐标法.第二条线是“一线三等角”的应用也分三种不同情况，与前一条线结合起来运用.已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题，如果已有一线二等角，可以补上一等角后，利用模型解题，或者只有直线上一个角，可补上两个等角，再利用模型解题.尤其是最后一种情况常作为压轴题，当给定一个特殊角或者指定该角的三角函数时，经常通过构造“一线三等角”解决.这样设计，一方面，对原来几个例题用“问题探究+变式”这条主线串起来，外延更清晰；另一方面，丰富了“一线三等角”模型的内涵.课后思考部分主要是增加思维点，继续研究模型，研究方向之一是点的特殊化，D为中点，得到三相似及两角平分线；研究方向之二是角的特殊化，出现直角，可以结合三角函数进行.整堂课采用从特殊到一般，再由一般回到特殊的方式展开教学活动.

不足点：以一道试题导入，学生难以抽象出“一线三等角”模型，对于实例进行的抽象，一般实例不小于三个；这道试题作为一份试卷的压轴题，难度较大，费时偏多，有违课堂教学“低起点，高落点”的原则，虽然该班层次较高，但作为导入还是欠妥.在问题探究部分，课堂上引导学生识别“一线三等角”，还原“一线三等角”，创设“一线三等角”模型，即3个问题都是通过“一线三等角”模型解题，有点固化学生的思维，束缚其手脚，不利于学生思维的发展.我们可以预见，层次好的班级的学生必有不同解法，不妨提出来交流，师生一起比较不同解法的优劣，促进思维的碰撞.

根据同行的建议，笔者进行第三次备课.

【第三次备课简案】

（一）情景再现

问题1：如图13，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点P为BC边上的点，过点P作∠MPN=30°，将∠MPN绕点P旋转，∠MPN的两边分别交AB、AC于点E、F时，问：△BPE与△PCF是否相似？证明你的结论.

图13

图14

问题2：如图14，在等边△ABC中，边长为6，点D是BC上的动点，∠MDN=60°，当BD=1，NC=3时，求BM的长.

问题3：如图15，在正方形ABCD中，边长为1，点E在线段B，边EF交DC于F，求EF的长.

图15

（二）抽象模型：同第二次备课

（三）问题探究

问题：如图16，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D、E分别在BC、AC上，连接AD、DE，使∠1=∠B.求线段CE的最大值.

变式1：同第二次备课.

变式2：同第二次备课.

图17

图16

变式2解答后，问学生：还有其他思路吗？

另解：如图17，连接OP，过P作PC⊥x轴交x轴于点C.

之后，让学生对比、优化，通过不同的解题方式，让学生体会构造不同的基本图形的价值，感悟解题策略.

（四）回顾反思

1.“一线三等角”模型的特征，以及模型的提炼、变式和运用；

2.从复杂图形中提炼基本模型、快速灵活运用基本结论、反思、拓展；

3.心中有模型，但不拘泥于模型，要重在分析、思考.

（五）课后思考：同第二次备课

【设计意图】导入部分以三个小题切入，先让学生独立思考完成，再小组交流，在特殊角度下，学生比较容易上手，在交流过程中，感悟三小题的解题通法.接着引导在特定条件下抽象图形，得到“一线三等角”模型，同时兼顾了大部分学生的认知水平和学习能力，生成自然.之后进行的问题探究是模型之应用，并多了一个一题多解环节，让学生感受到过度依赖模型不利于培养自身分析问题的能力.在回顾反思部分不仅有“四基”的总结，也有对数学模型的认识.

二、教学感悟

有了前两次备课、试讲的经验教训，按着第三次备课方案，笔者在初三教学研讨会上进行了公开课展示，受到与会者的积极评价，大家认为该课设计合理，在教师引导下，学生积极参与做数学活动，师生互动默契，从发现问题到解决问题再到拓展问题.在学生思维最近发展区提出问题，建立数学新知与已知的联系，保持数学的连贯性、思维的一致性，并将学生学习的热情延伸到了课外，培养了分析问题的能力，培养了学生数学抽象和数学建模的素养，数学能力得到螺旋式巩固与提升.通过这次教学实践，笔者在初三复习教学设计方面有如下感悟：

（一）教学设计要有高立意

利用好模型解决一类数学问题，这是基于中考的基础目标.数学课程标准指出：“数学教学应该从学生已有的社会经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用.”数学模型是指将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入分析和研究，从而从定性或定量的角度刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导.“模型思想”是课程标准提出的十个核心概念之一，因此，对于这一节数学模型课，以问题为载体，培养学生分析、解决问题的能力和发现、提出问题的能力，进而培养学生的数学核心素养——数学建模和数学抽象，是数学复习教学更为重要的目标，如此立意能提升教学的品位.因为数学模型需要有一个建构的过程，它要求学生亲身经历将实际问题提炼成数学问题，这也是一个数学抽象的过程，一种是“从对强条件的弱化”提炼“一线三等角”模型，另一种是“从三个具体实例”抽象提炼到“一线三等角”模型，当然后者更具合理性.笔者第二次备课不够合理，主要原因是忽视了这一点.

（二）心中有模型，但不拘泥于模型

数学模型的意义，其一，培养学生核心素养的需要（见上）；其二，不仅为数学表达和交流提供了有效途径，也为解答数学问题提供了重要的工具，可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学，解答问题，所以数学模型常作为中考复习微专题的一个重要内容；其三，如果解决问题过度依赖模型，机械套用模型，会削弱学生分析问题的能力.这也是第二次备课不合理的主要原因之一.因此，对待数学模型，正确的态度是心中要有模型，但不拘泥于模型，更重要的是要学会分析、思考问题.

（三）数学教学要追求自然

人教A版教材主编寄语有这样一句话：“数学是自然的、数学是清楚的”，朴实的话语道出了数学的真谛.关于“自然”，有两重含义，一个是指自然界、大自然；另一个是口语上的自然而然、当然.第一次备课，笔者直接出示“一线三等角”模型，设计中无法体现提炼模型的必要性和重要意义，学生也缺乏体验建模的过程，脑海中没有留下深刻的印象，教学效果自然就差.通过这三次磨课，我深刻感受到不论是新授课、习题课还是复习课，都要追求自然的设计和有效实施，一位特级教师在复习课的教学建议中提出：（1）通过自然的导入，教学生了解知识的背景与应用的前景；（2）通过自然的推理，教学生学会由代数方程推出几何性质；（3）通过自然的探究，教学生学习探究性学习的方法；（4）通过自然的问题导引，教学生学会归纳解决问题的方法.在习题课解决问题中，有时需要追本溯源，产生自然的思路，有时需要紧扣特征，产生自然的转化.总之，“水”到可以“渠”成，教师在课堂教学中，要追求自然的设计和有效实施，促学生理解数学，教学生学会思考，便于学生产生自觉的行动.