以深度学习的视角丰实文本，让概念教学厚重起来——以“多项式的因式分解”第1课时为例

☉江苏省锡山高级中学实验学校 刘春云

一、问题提出

初中数学教学，尤其是七年级教材每章初始几课时的教学，常有这样的现象：教材内容少且简单，教师能在十几分钟内轻松“完成”教学任务，却也觉得寡淡无味.究其原因，是这些教师缺少对教材和教学内容的深入研究和思考，对出现的新概念，快速灌输，然后进行大量机械重复习题训练.一节课下来，学生只学会了机械模仿，对于“新概念是什么？为什么要学？怎样学”这一系列该深度思考的问题，学生一概不知.

如何丰实文本，使概念教学更加厚重？深度学习是一个可借鉴的视角.深度学习是一种学生在教师设计的复杂问题情境中，高投入地进行高阶认知的有意义的学习.深度学习的发生需要教师深入研究教材，从整个知识体系研究概念的内涵，挖掘概念的本质，揭示概念的形成过程，让学生在课堂上真正有一个深度思维的过程.

笔者在某次青年教师基本功大赛中执教过苏教版七年级下册第九章第五节“多项式的因式分解”第1课时，下面就以这节课为例，谈谈如何让“单薄”的内容丰实起来，使数学课堂有数学味、有厚重感.

二、教学片段回顾

1.片段1：知识迁移，由“数”到“式”

师：数学总离不开数，大家学数学6年多啦！恭喜同学们从自然数认识到实数.我们先来做个数字游戏吧？

游戏规则：请你给出任意四个数，并用其中一个你喜欢的数与其他数相乘.老师能马上说出这三个乘积的和能被哪个数整除，有兴趣参与吗？

生1：37×8+37×9+37×10.

师：能被37和27整除.

生2：16×20+16×30+16×40.

师：能被16和90整除.

师：好，大家出题没有难倒老师，那么，现在老师也出一个题来考考大家. 你知道37×2.8+37×5+37×2.2这个式子能够被哪些数整除吗？

生3：这个简单，逆用一下小学学习的乘法分配律，结果就出来了：原式=37×（2.8+5+2.2）=37×10，能被37和10整除.

师：很好，有理有据！再来一个试试！（-56）×100.1+（-56）×0.2+56×0.3.

生4：同理，原式=（-56）×（100.1+0.2-0.3）=（-56）×100，能被56和100整除.

师：说明大家已经找出了其中的奥秘！你能把你发现的这个奥秘说出来或用数学语言表达出来，跟大家分享吗？

生5：我发现要计算的式子，每项都有一个相同的数，我用字母a表示，其余的三个数，我用b、c、d表示，于是就表示成ab+ac+ad=a（b+c+d）.

设计意图：从学生感兴趣的“数学游戏”入手，激发其学习兴趣，并鼓励学生进一步深化，把这一方法的运用推广到一般情形，体现代数方法的优越性.教师的提问：“这个式子能被哪些数整除”，巧妙地引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是把一个多项式化为积的形式，为提公因式法的引入扫清障碍，为建立因式分解做好准备.同时，这一环节注意了渗透整体、类比等数学思想.

2.片段2：逆向思维，探究奥秘

师：用含字母的式子，可以很简洁地把这个奥秘表示出来.从具体的数演变到字母，这个式子永远成立吗？

生6：肯定成立，我们前面刚刚学过整式乘法：a（b+c+d）=ab+ac+ad，只要把等号两边调换一下，就可以得到ab+ac+ad=a（b+c+d）.

师：哦，原来等式两边是可以互换的！所以，这样表达是完全正确的.

设计意图：分解因式是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，但是如何转化呢？充分利用各种乘法公式的逆运算.逆向思维是学习数学十分重要的途径和手段，初中数学教学过程中，不少内容若运用正向思维，则难以解决；若采取“反其道而思之”的方式，则问题会顺利解决.因式分解正是进行逆向思维能力培养的最佳平台与载体，其思考过程是这一数学思想很好的体现.

3.片段3：动手拼图，加深理解

师：如果我们能再从其他角度验证这个式子的正确性，应该更具说服力.

拼图游戏：（1）每个同学看看自己手上的小长方形的面积是多少，然后算算你们小组内三张小长方形的面积和；（2）小组成员能否通力合作，用所有图形拼成一个大长方形？比一比哪个小组最快.（小组活动）

小组代表（生7）：上台展示自己的成果，如图1.

图1

师：你拼出来的这个长方形的长是多少？宽是多少？面积又是多少？你们又有什么发现？

生8：因为拼图不改变图形的面积大小，所以有ab+ac+ad=a（b+c+d），再次验证了我们刚才总结出来的数学式子是正确的！

设计意图：代数式ab+ac+ad可以被赋予多种不同的实际意义.若把a、b、c看成3个数，就可以从代数运算的角度，逆用有理数的乘法分配律，得到ab+ac+ad=a（b+c+d）；若把a和b、c、d分别看成三个长方形的长和宽，那么又可以从图形的角度，利用拼图不改变面积的共识来验证，由于ab、ac、ad就分别表示三个小长方形的面积，并且这三个小长方形的面积和等于长为b+c+d、宽为a的大长方形的面积，同样有ab+ac+ad=a（b+c+d）.因此，在这个环节，借助图形的直观性，学生既能发现结论，又再次体验了成功的乐趣，更重要的是引领学生感悟 “模型思想”，感悟数与形的联系，感悟数形结合的思想方法.

4.片段4：数式类比，发现概念

师：刚才我们通过两种途径验证了你们总结的式子是正确的，那么接下来就该好好研究这个式子了，其从左到右的变形有什么特征？

生9：将多项式化为单项式乘以多项式.

师：同学们知道，单项式、多项式都是整式，那么右边是否可以说成更简单的形式？

生10：从左到右的变形，就是将一个多项式化成两个整式的乘积.

师：很好！在小学里，我们学过把一个整数分解成几个质因数的积的形式，叫作因数分解.想想看，可不可以给这个过程（指着ab+ac+ad=a（b+c+d））也起个名字？

生11：因式分解！

师：非常好！同学们，你们在做着一件很了不起的事——类比.类比思想，是我们数学上一个非常重要的思想方法.大家可否继续开动脑筋，类比“因数分解”，给“因式分解”下个定义？

学生尝试，小组合作，相互补充完善，得出因式分解的定义：“把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式，叫作多项式的因式分解”.

教师板书，师生共同观察分解的结果的特点：（1）分解的结果一定是乘积的形式；（2）每个因式必须是整式.

辨一辨：下列等式从左到右的变形是不是因式分解？

师：从上面的“辨一辨”可以看出，（1）（4）（5）（7）都属于因式分解，其中（5）和（7）是我们今天要先研究的一种类型.大家仔细看看，这类因式分解有什么特点？

生12：左边多项式各项都有共同的因式，然后我们可以逆用乘法分配律把它提出来，结果就变成了整式积的形式.

师：各项都有的这个因式，我们能否仿照小学的某个说法，给它取个名字？

生（齐答）：公因式.

然后，师生一起得到“提公因式法”的说法，并相互补充完善，得出找公因式的易错点、易漏点及注意点.

设计意图：此处设置数与式的类比，使学生通过类比的思想方法很自然地由“因数分解”引出新概念“因式分解”，由“公因数”引出“公因式”，从而得到本节课的主题之一：“提公因式法”因式分解，实现已有知识的正迁移，不仅有利于学生形成良好的认知结构，还促进了学生的深度思维，达到了深度教学的效果，对培养学生良好的数学核心素养起到了引导作用.概念出现后，采用“辨一辨”的形式来练习，加深学生对新概念的辨析，深化对概念本质的认识和把握，这也是对新概念教学常采用的方法.其中，第（7）题，由于公因式是a+b，所以无形中还向学生渗透了整体思想方法.

5.片段5：概念提升，知识升华

师：今天我们学了新知识“因式分解”，大家都知道这个新概念是什么，那么大家有没有想过：为什么要学因式分解？今后怎样学因式分解？

生13：进入初中后，我们在不断扩充数的概念，然后又从数向式进一步转变，小学已学过因数分解，现在就该学因式分解.而且，学了因式分解，可以将一个多项式表达为几个整式积的形式，这样就可以进行两个多项式相除的计算，分子和分母可以约分.当然，也许还有其他作用，暂时我还不知道.

生14：对于怎样学因式分解，我觉得就是把多项式的乘法公式反过来.

设计意图：设置此问题，目的是让学生明白我们所学知识均有其价值所在，同时引导学生：知识有延续性，学数学需对比和类比.虽然学生的回答不是很完美，但是已有主动思考和把前后知识类比的意识，课堂上真正出现了高阶思维的过程.长此以往，学生的学习原动力和持久兴趣将大大提高.

三、“以深度学习视角丰实概念文本理解”的几点策略

1.贴近学生最近发展区，恰当定位深度学习目标

“多项式的因式分解”的教学，如果直接让学生记定义、记提取公因式的注意点，或许既节省时间，又暂时提高学生做题正确率，但缺少经历因式分解概念形成的过程，是典型的浅层学习，学生学习数学的能力自然得不到提高.事实上，刚刚升入七年级的学生，已经初步体会了用字母表示数的简洁性和概括性，思维上也经历了从数到式的飞跃，这为本节课的学习奠定了基础.所以，本课中笔者大胆设置了“数字游戏”“找奥秘”“自己给定义”这一系列环节，目的不仅在于传授知识，还希望以深度学习提升学生学习数学的综合能力.学生在小学学习了“因数分解”“公因数”等概念，经过知识正迁移，得出“因式分解”“公因式”，这是水到渠成的事.这样，学生不仅仅会把一个多项式因式分解，而且经历了因式分解概念形成的过程，真正增强了对因式分解的感性认识，也实实在在经历了一个深刻思维的过程.

2.让学生在活动中做数学，在实践中体验知识发展的过程

本节课是一节关于式的纯代数问题，如果教学组织不恰当，学生自然会觉得枯燥无味.因而，笔者开篇就从学生感兴趣的“数字游戏”入手，激发其学习兴趣，调动其积极性.然后，通过“拼图游戏”，为学生提供较充分的“做”数学的机会，让学生在操作探究、合作交流、成果展示中，感受和体验数学的乐趣，从而主动获取数学知识，明晰数学本质，真正理解ab+ac+ad=a（b+c+d）的几何意义和数学内涵.我们知道，数学活动更多的是引导学生在活动中思考，在活动中感受知识的价值，同时能增强学生应用数学知识解决问题的意识.教师若能在平时的教学中，合理、恰当地设置数学活动，必然会有效地达成课堂预设.

3.渗透数学思想，发展学生数学素养

数学素养是数学学科固有的内蕴特性，其核心素养反应在数学本质和数学思想上，是在学习数学过程中形成的，具有综合性、整体性、持久性.所以，我们教师在组织教学时，不要急功近利地压缩知识形成过程、大量操练例题和习题，应放慢脚步，多设置一些有序的、恰当的教学环节，和学生一起经历知识的来龙去脉.对于概念教学，在其概念形成过程中，所蕴含的数学思想方法更是数学学习的精髓所在.本节课，笔者把类比思想、数形结合思想、整体思想、几何变换和逆向思维等数学思想方法潜移默化、润物无声地渗透给了学生.在此过程中：“单薄”的概念教学，变得厚重而悠远；学生的数学素养，得到有效培养和提升.

四、结语

深度学习是一种有意义的、体现学生主体地位的学习过程.而以学生深度学习为目的的概念教学课，需要教师对教材内容进行联合整合，恰当定位教学目标，并采取让学生深切体验、深刻思考的教学方式，这样才能使概念教学变得厚重而悠远，实现培养和提升学生数学素养的目标.