例谈关于几何直观核心素养的三个教学关键问题

☉北京教育学院朝阳分院 张 东

随着《义务教育数学课程标准（2011年版）》将几何直观作为了一个核心概念，《普通高中数学课程标准（2017年版）》又把直观想象作为数学核心素养的要素之一，几何直观已成为数学教学研究的热点问题.那么为什么要重视几何直观？几何直观的内涵是什么？课堂教学中怎样培养学生的几何直观？本文结合具体实例，对关于几何直观核心素养培养的这三个教学关键问题浅谈自己的思考与实践.

一、为什么要重视几何直观

希尔伯特在《直观几何》一书中说到“算术记号是写下来的图形，几何图形是画下来的公式.图形可以帮助我们发现、描述所研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果.”几何直观能将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，能帮助学生直观地理解数学，在学生发现和提出问题、分析和解决问题的整个过程中都发挥着重要作用.例如，在正方形网格中，如果将小正方形面积（或边长）看作1，那么学生借助图形，从图1中就容易猜想出，从图2中可以猜想出1+3+5+…+2n-1=n2，从图3中猜想出13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=

图1

图2

图3

史宁中教授曾经说过“数学结论是看出来的，不是证出来的”.在上述案例中，三个数学等式都是依靠将数字图形化，然后借助图形的几何特征，进而迅速猜想出数列和，体现了几何直观在发现和提出数学问题中的作用.

二、什么是几何直观

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对几何直观内涵的表述是：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.”孔凡哲教授认为“严格意义上说，这是针对几何直观的作用的解释性说明”.许多专家学者都曾对几何直观的内涵提出过自己的理解.徐利治教授认为几何直观是指借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知；钱佩玲教授认为几何直观是一种能对数学对象及数学对象的关系，用几何图形和几何语言去表达、思考和解决问题的能力.综合以上观点，我们认为几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力.

需要注意的是，几何直观是借助经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系的直接感知，因此借助几何直观“看”出来的结论具有或然性，其正确性还需要通过逻辑推理的严格证明.

三、如何培养几何直观

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出了几何直观的四个具体表现：（1）利用图形描述问题；（2）利用图形理解问题；（3）利用图形探索和解决问题；（4）构建数学问题的直观模型.从几何直观的四个表现，我们可以发现几何直观的载体是图形，因此自主的用图意识、扎实的画图能力、敏捷的识图能力、灵活的以形助数能力是几何直观的必备能力与品格.根据以上论述，结合教学实践经验，笔者认为可以从以下几个方面培养学生的几何直观.

（一）培养学生的主动用图意识

几何直观要求学生不仅是见图而思，还包括把借图说话、借图表达、借图探究变成一种自觉的思维意识.怎么培养这种意识呢？我认为教师应关注以下三个问题：

1.让学生感受图形的力量.这主要是教师要让学生充分体验用图分析问题、记忆结果等方面的简捷性，从而对图形的力量产生一种价值认同.例如，教师可以让学生尝试思考如下问题：（1）四支球队，每两队赛一场，总共要赛多少场？（2）求解

当学生面对这样的问题束手无策时，教师提醒学生借助图形描述问题、分析问题，当学生发现借助图4后，问题变得直观、清晰、简明，然后教师适时让学生反思：图形在问题分析中起到了怎样的作用？这样学生就深刻体会到图形的力量.

图4

2.让学生养成用图形表达知识的习惯.数学中的许多概念、公式、定理往往都与图形有关，学生在理解这些知识时往往只关注文字语言的理解，缺乏结合图形对概念的内涵、定理的条件与结论的理解，这会造成学生理解上的片面与机械.因此学生在描述知识时，如果该知识的本质与图形有关，教师可以要求学生将知识图形化，结合具体图形描述知识.此外，有研究表明，学生不能完成几何证明的原因之一是对标准图形的思维定式.如果在教学中教师总是使用标准图形表示知识，那么学生在碰到非标准图形时就会无所适从.因此，教师在让学生用图形表述知识时，可适当增加非标准图形.

3.不忽视作图探究的学习机会.很多教师认为课堂教学中让学生进行作图探究费时间、没价值，所以不重视让学生在课堂教学中通过作图进行探究.事实上，这种做法使学生丧失了借助图形理解知识本质的机会，也丧失了使学生体验图形直观在探究中的作用，这不利于学生形成主动用图的意识.例如，在探究三角形全等条件时，借助尺规让学生作出满足条件的三角形后，学生发现有些条件下（如SSS，SAS，ASA，AAS）作出的每一个三角形的形状、大小都相同，而有些条件下（如SSA）却不一定相同.通过这样的探究过程，学生不仅发现了三角形全等的判定条件，更重要的是对三角形全等条件的本质有了深刻的感悟，理解了三角形全等条件本质上就是从组成图形的基本要素出发，确定一个三角形形状、大小的条件，为学生日后探索解三角形留下了生长的萌芽.此外，这样的探究方式也能使学生感悟到尺规作图是几何探究的一种基本方法，对学生形成主动用图探索问题的意识具有促进作用.

（二）锤炼学生扎实的画图技能

扎实的画图技能是几何直观的重要基石，不能正确、灵活地画图，就谈不上用图来描述问题和分析问题.对于如何培养学生的画图技能，本文重点想谈强化画函数图像与尺规作图教学两个方面的问题.

首先，函数在初、高中教学的地位已无需赘述，而研究函数的基本方法就是函数图像，同时能否正确、灵活地画出函数图像，也是反映学生对于函数性质、对应变化思想理解的一面镜子.以二次函数图像为例，教学中教师应使学生具备画下面四类函数图像的能力.

图5

其中精确图是指学生用画函数图像的通法——描点法画出的图像；示意图是指学生根据函数的性质画出的简易图；部分图是指学生要能根据自变量的取值范围的不同，画出其对应的函数图像；动态图是指当函数解析式中的系数为变量时，随着系数的变化而对应的一组图像.这些图像是学生简单、形象地发现、描述、分析、解决函数问题的重要工具与手段，是发展学生几何直观的重要载体与途径.

其次，学生的画图能力还包括学生要具备一定的尺规作图能力.在上文已经谈过了尺规作图的重要意义，因此在教学中教师要重视学生基本的尺规作图能力的培养.教师可以将基本尺规作图与定理应用相融合，适度增加学生应用数学原理与基本作图进行尺规作图的活动，增强学生的作图能力.例如，在学生学习完圆周角定理后，教师可以设计如下问题：

如图6，已知△ABC与直线l，在直线l上求作一点P，使∠P=∠C，并说明你的作图依据.

图6

图7

通过此问题，一方面有助于学生理解圆周角定理在证明角相等时的作用及应用条件，另一方面能发展学生尺规作图的技能及应用几何直观创造性解决问题的能力.

（三）提高学生敏锐的识图能力

几何直观在几何学习中具有重要作用，尤其是识图能力的高低对于学生解决几何问题具有重要意义.在几何教学中，可以从以下两个方面增强学生的识图能力.

1.加强基本图形的教学.所谓基本图形包括两类，一是指表征几何对象、几何概念、几何定理、几何公式的图形，例如表征三角形中位线定理的图形；另一类是指蕴含一定位置关系和数量关系的基本图形的组合模型，例如一线三等角模型.在日常教学中，教师一方面要注重让学生将知识图形化（具体见上文），另一方面要让学生学会利用视觉技能，从复杂图形中分解出基本几何图形，这对解决几何问题非常关键.例如下面的问题：

已知：如图8，四边形ABCD是平行四边形，I和J分别是BC和AD的中点，P和Q分别是DB与AI和CJ的交点.

证明：BP=PQ=QD.

图9

在图8中，包含着许多基本图形（如图9），学生解决此问题的关键是能根据已知条件和联系相关知识，并依靠直觉从原始图形中发现这些基本图形，再对这些几何图形进行逻辑推理.因此，应重视基本图形的积累，并在复杂图形中挖掘基本图形在几何问题解决中的作用.

2.注重引导学生用图形变化的眼光分析图形.平移、轴对称、旋转是图形构造的重要方式，许多隐藏的图形与原图之间往往具有图形变换的内在关系，因此如果学生能用图形变化的眼光分析图形，其识图能力一定会进一步提高.例如下面的问题.

如图10，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+FD.

图10

图11

如图11，构造△ABG，证明△ABG △AFD，则问题迎刃而解，所以构造出△ABG是问题解决的关键.这时可以思考：通过平移、旋转或轴对称所得的三角形与原三角形全等.由于构造全等的目的之一是将DF化归为EB的延长线，且AB可看作由AD绕点A顺时针旋转90°得到的，故考虑将△AFD绕点A顺时针旋转90°得到需要构造全等的三角形.

3.通过问题变式让学生直观把握图形的运动变化过程.学会用运动变化思想分析问题是一种核心的数学思维能力，同时这也是数学几何直观的重要表现.教学中，教师可通过问题变式，使问题由静变动，从而培养学生用动态的眼光分析问题的能力.例如可以将问题从点与点问题，演变为点与线（点与直线上一动点）的问题，再演变为线与线（两点分别为两直线上的动点）问题.这种从维度上进行拓展的问题，一方面，可以让学生体会数学问题是怎样由静止发展为运动的演变过程；另一方面，学生能通过画图呈现出图形的整个运动变化过程，进而直观地发现变化过程中的临界或最值位置.这种问题变式，对增强学生借助图形发现和提出问题、分析和解决问题的能力具有重要意义，是培养学生几何直观的极好载体.

（四）培养学生灵活的以形助数能力

借助图形理解和分析代数问题是几何直观的重要表现，代数中的很多概念都具有数形双重含义，许多公式与方法都可以从图形中发现和解释，正如黎曼所说“每一个数学公式背后都有一个反映其本质的几何模型”.因此，学习代数内容的几何意义，借助几何图形理解代数问题，用几何方法解决代数问题等，都是培养几何直观的重要方式.

例如，在学习完全平方公式时，可以借助图12让学生体会完全平方公式的几何意义，理解为什么（a+b）2≠a2+b2；在学习无理数时，可以让学生准备两个一样的面积为4的正方形纸片，将其中一个正方形纸片通过折叠得到面积为2的正方形，再将另外一个正方形纸片通过折叠得到面积为1的正方形，从而体会的存在性，并直观发现小于2但大于1；在学习配方法解一元二次方程时，可以借助图13，从几何角度让学生体会配成完全平方的目的，以及在配方过程中，为什么要给等式两边同时加一次项系数一半的平方，而不是其他量等问题.

图12

图13

总之，几何直观是在学生整个学习过程中都具有重要影响的核心素养，培养和发展几何直观是数学课程的核心目标之一.而培养学生的几何直观，可以在图形与几何、数与代数、统计与概率、综合与实践等各个领域中适时渗透.本文对关于几何直观的三个关键问题的思考，希望能对一线教师了解几何直观的价值、把握几何直观的本质、探索几何直观的培养有所启发.