基于“概念逻辑关系”建立的数学教学研究

☉江苏省连云港市海州区教研室 张才宝

在教学法研究范畴，逻辑是对数学思考的思考，概念逻辑关系的建立是通过原型定向、数学思考、问题解决和审美移情等逻辑行为实现的，涉及概念获得、概念保持、概念使用和概念迁移等内驱逻辑因素（具体见图1）.在初中阶段，概念逻辑关系的建立，有助于学生对数学概念、数学公式、数学法则的理解与把握，有助于“扣好”概念思维的“扣子”，有助于“带得走”课堂目标的实现，进而落实数学“关键能力”的培养和数学“必备品格”的养成.

本研究以江苏省“基于《伴你学》提高学习力”的数学专题研讨活动中开设的“9.4-1乘法公式”观摩课为思想承担体，突出概念关系的形成、使用与解释，终于课程“过程目标”的有序实现及“态度目标”的无意识变迁.

图1

一、原型定向，概念逻辑关系建立的先行组织

在数学概念逻辑关系研究范畴，“原型定向”起于概念先行组织行为，终于概念逻辑关系的建立，终归于数学核心素养的定向层级.在加里培林和安德森研究的基础上，我国教育心理学家提出心智技能形成三段论，即原型定向、原型操作和原型内化.而原型定向是程序性知识获得的必经途径，反映数学概念的程序逻辑，是数学基本活动经验获得的思维支点（如图1），其实现效应受先行组织行为的支配与调节，因此，在一定层面来说，原型定向的本身就是一种先行组织行为.从数学内部关系建立的“算理性情境”和从数学外部关系建立的“关系性情境”，都是原型定向的可靠路径.

在逻辑模式论研究范畴，原型定向阶段就是使主体掌握程序性知识阶段，相当于加里培林的“活动定向阶段”，也就是将一类专家头脑中观念的、内潜的、简缩的经验“外化”为物质的、外显的、展开的“心理模型”的过程.换句话说，就是将专家头脑中的经验内化为学生头脑中的心智技能，变成学生经验世界的组成部分.数学概念、公式、法则等程序性知识的习得，就是原型得以定向的具体表现.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）在课程设计层面，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.这就要求数学课堂教学必须从学生的经验世界出发，通过原型定向，还原概念的心理原型，揭示概念的发生、发展与生长等“合适应性”特征，为此必须做好三个维度的概念逻辑关系建设工作.一是基于数学内部逻辑关系，确证算理逻辑关联；二是基于数学外部逻辑关系，建立原型范式逻辑；三是基于系统概念逻辑，建设先行组织经验反应块，终于概念一般逻辑关系的形成与把握，发展数学建模核心素养课程目标.

概念逻辑关系建立清样1：执教者在探索苏科版七年级数学“9.4-1乘法公式-完全平方公式”概念发生模块时，就是通过先行组织行为，进行“原型定向”，建立概念的逻辑关系，终于概念的内源性获得与理解.具体先行组织行为线索执行如下：首先，基于一个具有特殊意义的数字20012（执教者在2001年从A单位调动到B单位）引发原型定向行为，进而落实概念逻辑关系的建立，即让学生通过“算一算”（有的从纯粹的数字运算开始，有的从完全平公式开始，有的从多项式乘多项式开始），进而为“由特殊到一般”思想的渗透奠定概念的逻辑关系基础；其次，让学生通过计算（a+b）（a+b）与（a+b）（c+d）两个具有“由特殊到一般”关系的多项式乘多项式，感知概念内在的联系与区别，终于概念的逻辑关系得以本质性显化，进而使得完全平方公式的模型得以初始建立；最后，让学生通过拼图（用1张a×a、2张a×b、1张b×b彩色纸片），借助从不同角度计算图形的面积，直观显化完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的“合规定性”，在类比算理的基础上形成（a±b）2=a2±2ab+b2产生式（production），终于概念的逻辑关系建立.

一般来说，数学模式（mathematicalpattern）是按照某种理想化的要求，概括地表现一类事物关系结构的数学形式，带有一意性、精确性和一定条件下的普适性及逻辑上的演绎性.数学概念、公式、法则是“一意性”“精确性”“普适性”“运演性”的组合体，是定向原型的表现，其本身就是一种可泛在的心理原型，带有概念逻辑关系的属性特征.就数学内部关系来说，概念、公式、法则等事实性概念带有运演性和精确性特征；就数学外部关系来说，一意性和普适性是数学概念逻辑的本质属性，是数学基本思想和基本经验溶解的结果，反映普适性是概念构成的必要条件.在上述清样1中，通过多项式乘多项式获得完全平方公式的方法，就是基于数学内部关系建立概念逻辑关系的原型定向例子，反映数学概念的逻辑属性；通过拼图揭示完全平方公式的逻辑直观，就是基于数学外部关系建立概念逻辑的具体表现，投射概念的数学化意义；“数字形态的完全平方公式→字母形态的完全平方公式→一般形态的多项式相乘”是由特殊到一般思想得以有序渗透的表现，反映概念的系统逻辑属性和概念原型的本质，终于概念的获得及原型定向的真正发生，实现让学生经历原型抽象的过程目标，这就是“精神胚胎”的生长.

二、数学思考，概念逻辑关系建立的思维基础

在素养教育逻辑学范畴，数学思考是以“立德树人”为课堂宗旨的思维活动形式，是数学基本思想获得的一种逻辑途径（如图1），支配着审美课堂育人模式的转变，是发展学生核心素养不可替代的途径.基于这一认识，在数学课堂教学研究范畴，思考是比较缜密的思维活动，思维是在表象、概念的基础上进行综合、判断、推理等认识活动的运演过程，因此数学思考有助于概念逻辑关系的建立，是数学思维逻辑连贯的心理前提.数学思考起于概念，成于逻辑，终于概念逻辑关系的建立，进而提高学生用数学的思维分析世界的能力，提升“想数学”的思维质量，增长学生思辨能力的发展指数.在爱因斯坦看来，独立思考是创新的基础.这就意味着思考是数学发明的关键，是知识获得并保持的重点.如苏霍姆林斯基认为的那样，要培养孩子的智力，就得教思考.换句话说，独立思考支配着知识获得的质量.

思维是人类特有的一种具有普遍意义特征的精神活动，是从社会实践中产生的.思考是数学思维着陆的逻辑形式，是数学概念建立的思维地基，实现数学思考目标的意义可见一斑.世界上很多国家的课程标准都把“数学地‘思考’”作为一个重要的过程属性目标.《澳大利亚数学课程》文本从概念的逻辑关系出发，课程目标聚焦于培养逐步复杂的数学理解、逻辑推理、分析问题和解决问题技能.新加坡教育部公布的《初中数学教学大纲》文本中，把“发展数学思考和问题解决技能，应用这些技能公式并解决问题”作为数学课程的一项重要目标.在中国的数学《课程标准》文本中，把“数学思考”作为过程性目标的一个重要方面，包括学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.由于数学思考本身就是一种逻辑甚至是一种思想方法，因此概念逻辑关系的建立离不开数学思考的支配和支撑.这就要求在数学课堂教学中，必须做好三个维度的“数学地”思考工作：一是用表象思维引领知识质量的保持；二是用概念思维促进逻辑关系一致性的建立；三是借助逆向思考，培养学生的逻辑思辨能力，终于概念逻辑关系的确立与建设.

概念逻辑关系建立清样2：执教者在探索“完全平方公式”的形成和发展范畴时，就是通过数学思考，达成概念逻辑关系建立的思维目标的.包括：概念符号语言特点的揭示、概念的文字语言表征、概念的整体逻辑秩序及概念的适应性类比使用等.具体逻辑思考秩序简概如下.首先，让学生指出完全平方公式的结构特征（有的从“=”两边的项数看，左边2项，右边3项；有的从符号看，左边是用“±”连接的，右边是分别用“±”“+”连接的；有的从文字语言表述看，两数和的完全平方等于两数的平方和与两数积的2倍的和），并通过“口诀”提高学生认识概念的形式逻辑，即“首平方加尾平方，积的2倍放中央，积的符号看前方”.其次，让学生通过逆向思考感知概念间的逻辑关系，包括两种范式：一是类比公式形式逻辑，写一个可以使用完全平方公式的算式，并基于数学内部算理逻辑，给出范式性答案（这一模块是研究者自己添加的，目的在于发展学生的元认知逻辑理序）；二是设计一道简单的使用完全平方公式解答的填空题，突出逆向思考能力的培养目标，在交流合作中提高概念逻辑关系的信度；最后是让学生站在“整体思想”的角度，认识概念逻辑关系的可拓展性（三个数和的完全平方应该等于什么？你是怎么知道的？如何使用整体思想？如果使用“-”连接，其结果怎样呢？举一个可以使用这类公式的例子），进而发展概念的使用范畴，反映数学思考的顺应性，揭示完全平方公式的一般性和普适性及可泛在性.

目前，中国基础教育课程改革正处于以“德美同行”为宗旨，以发展学生的“核心素养”为目标，以实现课堂转型为重点的“再出发”阶段.这里的宗旨、目标及重点都是一种逻辑概念，而数学思考是概念逻辑关系建立的执行对象，因此数学思考的目标指向概念逻辑关系这一思考对象，促进了学生数学地思考，包括数学地“做”、数学地“想”和数学地“说”等一般逻辑思考范式.在上述清样2中，“研讨公式特点”的行为就是建立表象思维逻辑关系的一个具体表现形式，有助于概念概括逻辑特征的揭示；“类比写→逆向填→确立框架”是建立概念逻辑关系的通用技术，反映数学思考的“可补偿”属性，发展了学生的元认知水平；使用“整体思想”及组合适配性“思维块”，有助于概念逻辑关系的一致性建立，反映概念思维的知觉性和一般性，揭示概念逻辑关系的可连贯性及数学思考的逻辑性与数学思维的变迁性，促进了知识的保持与衔接.

三、问题解决，概念逻辑关系建立的方法和路径

“问题解决”是西方数学教育的另一个现代思想，包括发现和提出问题、分析和解决问题及迁移问题、变迁问题甚至是审美问题.提出问题是人的创造性思维的开始，从这个意义上讲，提出问题比解决问题更重要.这也是我们要保护学生问题意识的一个重要原因.但是问题解决本身并不能开发学生的问题意识.适应性整合教材，站在系统论、学段论的高度，设置和学生知觉水平一致的“问题反应块”“概念衔接块”，在经历使用概念的问题解决中深度理解概念，进而建立概念之间的内部逻辑关系，这才是有效解决问题的逻辑方法和思维路径.当然，概念的逻辑关系的建立不是一两节课就能解决的，而是长期“使用教材+研究教材”的结果形态.借助多角度研究同一个问题的不同侧面，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同角度加以分析、从不同的层次进行理解，从而生长数学概念的理解能力，包括“做一题、通一类、连一片”的问题解决逻辑目标，这是一种很好的适配思维途径.如人本主义心理学家马斯洛的观点，学习具有发自内心的生长潜力，教师的任务不只是教学生知识，更重要的是为学生设置良好的学习情境，让学生自行学习.换句话说，就是问题解决支配着概念逻辑关系建立的水平，问题解决的方法和路径影响概念实施的忠诚度，其中包括概念逻辑关系的信度和效度.

在数学概念逻辑学研究范畴，美国学者Mc Naught等使用“实施忠诚度”（implementation fidelity）的概念进行了教材使用研究.简单地说，就是使用者大多程度上忠实于教材原意进行教学，包括内容忠诚度和表达忠诚度，而这些实施忠诚度的大小取决于问题解决的思维效应，影响概念逻辑关系的建立及其思维方法的配属性.因此问题解决支配教材的使用高度和概念使用的系统力.举一反三、闻一知十、道生无限都是问题解决有效的具体表现，而“举一反一”“举一反零”则是问题解决低效、无效的表现.也就是说，只为“得个答案”的问题解决，只能让学生获得一些杂乱无章的零散知识，只有建立逻辑概念关系的问题解决，才能实现概念的类化与迁移目标.这也是课程专家反对“教教材”（表达忠诚度偏低）、倡导“用教材”（内容忠诚度较高）及提出“问题串”的微言大义.数学《课程标准》在“问题解决”维度，强调从数学的角度发现问题和提出问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题的多样性，发展创新意识，初步形成评价与反思意识.毋庸置疑，“问题”“方法”“创新”“评价反思”都是较高忠实于教材的表现，是概念逻辑关系得以建立的思维操作.这就要求在概念逻辑关系建设中，必须做好三个维度的问题解决工作：一是提出问题，发展概念逻辑类化能力；二是还原问题，揭示“知其然，知其所以然，以及知其所不然”的概念逻辑目标；三是整编问题，投射数学整体思想的实施忠诚度，反映问题解决方法路径的逆向性，有助于层次性概念的有序迁移.

概念逻辑关系建立清样3：执教者在执行“乘法公式”使用概念模块教学时，就是基于问题解决，让学生在提出问题、还原问题及整编问题等行为中自然建立概念逻辑关系的.具体问题解决的行动路径如下：首先，让学生通过内模仿，建立概念逻辑与“我的”思维知觉水平一致的块状思维问题，也就是让学生在完全平方公式的经验基础上，尝试使用公式解决问题（对例题的多角度解决，比如计算（2a+5）2、（2a-5）2的结果），落实概念数理逻辑的转化目标；其次，让学生移情概念，即在观察公式结构的基础上，写一个可以用完全平方公式解决的有意义的算式（有的将20012转化为完全平方公式形象，有的用转化、套公式及多项式乘多项式等三种方法解决本题（2a-5）2，有的从“形”的角度回归概念的逻辑源头等），并在交换解题中获得提出问题、质疑反思及评价的思维契机，让问题解决成为平衡思维冲突的中介，终于概念逻辑关系的渐次外显与思维澄明；最后，让学生站在系统逻辑高度关联概念，实现对概念的整体把握，具体维度线索是复述概念特征、联结多项式乘多项式法则、关联逆向思考的因式分解等（问题略），实现了问题解决与概念逻辑共生的概念教学目标，落地“学会学习”的能力目标及关键能力的稳定发展.

在数学教学法研究领域，杜宾斯基的APOS（行动、过程、对象和图式）模式，就是问题解决的可靠套路，即在一个水平上使用的概念，成为在下一个水平上行动的对象，尤其在把“反思抽象”作为一种发展高级思维方式使用时，有助于执教者在引导学生建立数学概念的逻辑思维过程中，更加关注学生思维的有序发展.提出问题是行动的一个关键因素，支配着问题解决的质量；还原问题是以过程性思维看得见为概念关系联结目标的；整编问题是以思维对象及其图式作为概念产生式反应块的，终于概念的“合目的性”领悟.清样3中的内模仿就是提出问题的内部表现形式，揭示思维行动的本体价值；移情是一种隐性的思维过程，投射还原概念的逻辑关系；关联是整编问题的通用技术，涵盖对思维对象、思维图式的内部表征，反映概念逻辑关系的全息属性，终于公式感知、理解与领悟，落实问题解决的创新意义和高阶思维的逻辑意旨.

另外，审美迁移是概念逻辑关系建立的基本思想，揭示概念的“形而上”逻辑，反映概念逻辑关系变量行为，有助于概念逻辑思维的秩序发展.这里限于文本饱和状态，另文研究.