数a的倒数是什么？——对一则教学片段的分析与研究

☉安徽省合肥市第四十八中学 程龙军

☉安徽省合肥市第四十八中学 史承灼

“数a的倒数是什么？”这是笔者在听一节七年级公开课“有理数的乘法”时遇到的问题.对于这个问题，学生的回答颇让人意外.

一、教学片段

“有理数的乘法”一课教学中，在讲完了有理数的乘法法则之后，教师按照教材上的要求开始讲倒数的概念.

师略停顿，对答案不够满意，继续个别追问.

生2：数a的倒数也可能是a.

生5（反驳生3）：0没有倒数.

生6：0的倒数是0，1的倒数是它本身，a要是1的话，那它的倒数就是它本身.

……

对于这样一个看似简单的问题竟然出现了这么多种答案，令人颇为意外.我们不禁会问：答案背后隐藏了学生怎样的想法？同龄学生之间为何有如此大的差异？学生对“字母表示数”有怎样的理解？

二、案例分析

对上述答案稍加分析，我们不难看出：

生1和多数学生一样，能够认识到字母a可以表示具体的有理数，但可能只是局限于字母作为一个静态对象对于数字的“替代”作用（如：3的倒数是，-2的倒数是-，a只是替代了3和-2而已），对字母的取值缺少分类的意识，也未能把字母看作变量，进而从a的由负到正的连续变化过程中进行排查和筛选，这说明学生还无法从抽象的水平上理解字母表示的对象.

生2既没有理解倒数的概念，也对字母a可以表示有理数认识模糊，只是考虑了倒数等于本身的特殊数1（在课后谈话中，问：哪些数的倒数等于自己.生2：数1的倒数等于1）.

生4、生6、生7的理解进了一步，考虑到了a的取值中的特例，对a取值的一般性和特殊性有了一定的思考，也有了分类的意识，只是没有意识到1和-1的倒数也可以表示为，这说明当a作为分母时，学生的分类标准还比较模糊，对整体和局部包含关系的认识还有欠缺.

生3也考虑到a取值的特殊性，尽管把0的倒数理解错了，但是已经较为准确地把握了分类的标准（即“a作分母时，分母是否为0”），也更接近了问题的实质.对于这个有价值的回答，教师如果稍加引导，结论就将呼之欲出，学生不仅知道了a的倒数是什么，而且可以较为深刻地理解字母a取值的一般性、特殊性，分类的重要性及数学结论的完备性.

三、寻根问底

1.问卷调查

为了了解学生对这一问题的普遍认识，笔者在七、八、九年级各选择了一个自然教学班分别进行了问卷调查，问题有三个：（1）数a的倒数是什么？（2）简要说出你的想法；（3）你认为数学中的字母a可以代表什么？调查结果如表1所示.

表1

2.结果分析

对这个问题的回答，七、八年级之间不存在显著差异，而七年级与九年级、八年级与九年级之间均存在显著差异.

虽然七、八年级的学生回答上述问题的正确率仅仅分别为12.1%和16.2%，但是一个有意思的现象是：大多数学生在第（3）问中都认为a可以表示任意一个有理数或实数.那么值得思考的问题是：既然学生能认识到a可以表示任意一个实数，当然要把0包括在内考虑，那为什么在答a的倒数时没有将0找出来单独考虑呢？笔者认为，一方面，学生虽然知道a可以代表任意有理数，但只是起到“替代”功能，没有经历具体数字符号化和形式化的抽象过程，以及静态数字一般化、动态化的活化过程，或者说学生对这样的抽象过程和活化过程体验不深.之后进一步的访谈也证实了这一点（七年级某生：3的倒数是，-3的倒数是-，a的倒数不就是吗）.另一方面，也有学生缺少“分类”“变量”意识及考虑问题不够全面的原因.从这个意义上说，学生要真正理解“字母表示数”，特别是在特定情境下，理解a取值的一般性和特殊性，还有很长的路要走，还需要不断感悟和深化.在此前提下，在七年级进行这样的训练就显得很有意义而且非常必要，如：求代数式的值、用字母探索规律、解方程、解不等式等，其中“求代数式的值”是沟通数与式的桥梁，应成为贯穿第三学段的一项基本训练.

与七、八年级相比，九年级学生回答上述问题的正确率达到了52.9%，对字母a的理解有了一个质的提升，在用字母表示数量关系时能自觉进行分类.这里，相应的数学学习内容起到了关键的作用，特别是对函数的学习，如：自变量的取值范围、求函数的解析式、画函数的图像等，使学生对字母有了“变量”的意识，因而理解字母时也更为全面.

3.调查结论

通过上述调查分析，可以看出初中生对字母的认识有如下特点：

（1）字母变量的抽象性，导致初中生对“字母表示数”的认识差异较大，存在着较为特殊的年龄特征.

（2）初中生对字母的分类意识比较缺乏，对字母取值的一般性、特殊性的认识处在较低水平.

（3）在涉及字母的较抽象问题时，一般地，学生还不能脱离开问题的实际内容，从抽象层次理解数量关系.

（4）相应的数学课程内容对学生符号意识的发展有显著影响.

（5）七、八年级是学生符号意识发展的萌芽期，九年级是学生符号意识、分类意识和变量意识发展的关键期.

四、教学建议

1.结合认知特点加强学生对字母表示数的理解

英国儿童数学概念发展水平的研究（CSMS）表明，学生对字母表示数的理解方式可以概括为6个水平：

（1）对字母直接赋值.一看到字母，就直接给它赋予一个数值.

（2）忽略字母的意义.对题中的字母视而不见，不理睬，或者承认其存在，但对它不赋予任何意义.

（3）把字母当作物体.把代数式中的字母看作具体物体的记号，或直接看作物体.

（4）把字母看作特定的未知量.字母在儿童心中是某个（具体的）未知数的记号，可以直接参与计算.

（5）把字母看作广义的数.在儿童心中，字母是数，而且可以取多个值.

（6）把字母看作变量.儿童把字母看作可在一定范围内的变数，两组这种数之间有一种系统的关系.

由上述研究可以看出，七、八年级学生对字母的认识主要介于水平（4）、（5）之间，在这一阶段，用字母表示数、求代数式的值、用字母探索规律、解方程、解不等式等都是发展学生符号意识的良好素材.此外，教学中还需要不断渗透对字母取值的分类意识，如有理数在不同标准下的分类、数轴上的点表示的数的分类、绝对值问题中的分类等，在此过程中加深对字母取值一般性和特殊性的认识，理解字母既可以表示具体的数，也可以表示数量关系或其他某种关系，还可以表示变化规律.而九年级学生对字母的理解则主要介于水平（5）、（6）之间，少部分学生把字母看作变量，在这一阶段，函数自变量的取值范围、解析式、图像的理解等内容则直接影响到学生的变量意识的发展.

2.结合现实情境进一步了解用字母表示数的意义

在数学发展史上，从丢番图用缩写的字母表示数到韦达用字母表示一般意义上的数，用了大约1200年.要学生在较短的时间内走过人类认识提升的大段历史，关键在于体会从具体数字到抽象字母的抽象过程，而这些抽象过程仍然需要借助现实的问题和情境.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在第二学段中虽然也要求“在具体情境中能用字母表示数”，但学生的实际情况与我们想象的还有很大差距.《标准》指出：在第三学段仍然要借助于现实情境了解代数式，进一步了解用字母表示数的意义.教学过程中要尽可能通过实际问题或情境的创设，引导、帮助学生理解符号及表达式、关系式的意义，或引导学生对现实情境问题进行符号的抽象和表达，在此过程中使学生逐渐认识到字母既可以表示已知量又可以表示未知量，既可以表示常量又可以表示变量，还可以表示数量关系和变化规律；逐步感悟“用字母表示数”不仅是字母“代替”文字和数的过程，而且更是具体数符号化和形式化的抽象过程，是人类认识从算术到代数的一次质的飞跃.

3.对字母表示数的理解需要“慢”教育

一方面，学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂、由具体到一般的抽象过程.比如用数字符号表示现实中的多少，用单一的运算符号表示数的运算关系，其抽象度显然不及用字母代替数及用字母表示某种关系，前者是后者的基础，后者对前者来说是一个质的飞跃.而用符号关系式或一定的数学模式语言表示特定的变化规律则又更抽象和复杂.这表明关于数学表达的符号意识的发展是一个逐渐积累变化的过程.另一方面，人类对于数学的抽象经历了两个漫长阶段：第一阶段的抽象是基于现实的，是现实世界中的数量与数量关系、图形与图形关系，抽象成数学基本概念、研究对象的定义、刻画研究对象关系的术语和计算方法，是从感性具体到理性具体的抽象过程；第二阶段的抽象是基于逻辑的，合理解释了第一次抽象得到的概念，以及概念之间的关系，实现了数学的符号化、形式化、公理化，是从理性具体到理性一般的抽象过程.对于“字母表示数”的抽象过程，只能是学生在学习活动中，通过对研究的数学对象的观察、分析、归纳、概括，从现实的具体情境中抽象出其共同特征及其本质属性，并在此基础上进行数学符号化和形式化.同时，学生对“字母表示数”的理解与知识的获得不具有共时性，而表现出延迟性.数学抽象过程的思维特征和这种延迟性，决定了教学过程中的“慢”，只有慢，才能让学生在掌握知识的同时，有足够的时间面对字母意义构建的延迟性和抽象性.因此，“用字母表示数”及其之前的教学过程，需要教师以极大的耐心，精雕细琢地对待相关内容，如用正、负数表示具有相反意义的量、有理数的概念及其分类、数轴及数轴上的点与有理数之间的关系、绝对值的含义等，同时还要让学生认识到一些特殊的数的地位和作用，如-1、0、1等.数学教育家傅种孙先生曾言：“几何之务不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然.”“几何之务”如此，“‘用字母表示数’之务”亦如此.

需要特别指出的是，大量快节奏、重复、烦琐的关于字母的形式运算训练，并不能提高学生对符号运算的理解.教学中要适当、循序渐进地对学生进行符号运算训练，并且要注意理解符号运算的基本过程和思想，毕竟，对字母表示数的理解关键在于“悟”而不在于“快”和“多”.