让运算法则的引入多一些“算理味”——也说“有理数加法法则”教学情境

☉浙江省海盐县博才实验学校 郭瑞华

王友峰老师在文1中，以“有理数加法”情境创设为例阐释了“基于算理概括法则，潜移默化熏陶素养”的教学追求，读来引发笔者共鸣.我们知道，有理数的加法法则是加法运算的基础，然而不少版本中引入加法法则时多是一些生活情境，或利用数轴上的蜗牛移动，或利用点的平移等情境方式归纳出“绕口令”式的有理数加法法则（如“取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”这样绕口的法则，让学生怎么理解和记忆），再进行例题讲解与同类训练，这样的教学年复一年，大家似乎没有找到更好的方法.笔者多年以来，也是这样开展教学的.最近，觉得可以借助数轴，基于相反数的定义（互为相反数的两数和为0）来推导、归纳生成有理数法则，再对教材上的表述进行理解，取得了一定的教学效果.下面就从这段教学引入说起，再引发一些教学理解和教学建议，供大家讨论.

一、借助数轴引入有理数加法法则

问题1：如图1，数轴上，点A、B分别表示a、b，且a＞0，b＞0.

图1

教学组织：安排学生根据a、b的取值范围，赋值举例，并计算出a+b的值，引导学生对应到A、B两点到原点的距离与a+b的大小关系.让学生复习正数相加，就是小学阶段所学的两个算术数相加.

问题2：如图2，数轴上，点A、B分别表示a、b，且a＜0，b＜0.

图2

教学组织：安排学生根据a、b的取值范围，赋值举例，并计算出a+b的值，引导学生对应到A、B两点到原点的距离与a+b的大小关系.引导学生发现两个负数的和为负数，并用两个数的绝对值相加.提醒学生，两个负数相加，要注意先确定符号，再用它们的绝对值相加（就是小学阶段的算术数相加）.

问题3：如图3，数轴上，点A、B分别表示a、b，且a＞0，b＜0.

图3

（1）当a=2，b=-2时，a+b=_______.

教学组织：学生知道互为相反数的两数的和为0，这其实也是之前在学习相反数时就可作为相反数的定义告知学生的.

（2）当a=5，b=-2时，求a+b.

教学组织：学生会直接看出答案为3.教师可追问为什么等于3，并预设两种方法，方法1：5+（-2）=5-2=3；方法2：5+（-2）=3+2+（-2）=3+［2+（-2）］=3+0=3.

要向学生指出，利用方法1，还可解决（-2）+5=-2+5=5-2=3；方法2则灵活利用运算律（加法交换律、结合律），符号化简的方法，互为相反数的两数和为0等依据，可以将符号不同的两个数相加.

在此基础上，可引导学生再举一些类似的例子（符号不同的两个数相加，且正数的绝对值较大），安排小组内交流计算结果.

（3）当a=2，b=-6时，求a+b.

教学组织：学生会直接看出答案为-4.教师可追问为什么等于-4，并预设方法：2+（-6）=2+［（-2）+（-4）］=2+（-2）+（-4）=［2+（-2）］+（-4）=-4.

在此基础上，可引导学生再举一些类似的例子（符号不同的两个数相加，且负数的绝对值较大），安排小组内交流计算结果.

在充分举例交流计算结果之后，出示教材上“有理数加法法则”（限于篇幅，这里不给出），让学生理解，并交流他们是如何理解的.先由小组内推荐学生代表本小组上台作全班交流，汇报他们是如何理解教材上这段“有理数加法法则”的，如果学生感觉该法则有点“绕口”，也可举例来谈自己的理解.在学生讲解他们各自的理解时，教师注意做好讲后点评，点评时要注意强调以下几点：

第一，与小学加法运算相比，有理数的加法运算更加复杂，首先要学会辨识类型，即看清两个加数的正、负，然后选准加法运算法则的具体依据；

第二，有理数加法运算，要培养先确定符号再运算的习惯，即培养符号优先的意识；

第三，在符号确定之后，要善于把两个数的加法转化为与它们的算术数有关的加或减的运算，对于符号不同的两个数相加，常常用较大的绝对值减去较小的绝对值；

第四，有时要灵活选用运算律，比如加法交换律、结合律，当然熟练地化简、去括号也是很有必要的.

接下来给出一组例题（主要来源于教材例、习题，限于篇幅，这里不给出），先由教师示范不同的运算方法，规范运算步骤，并引导学生体会有理数运算方法的“殊途同归”，培养学生运算的灵活性.

二、关于有理数加法法则的教学理解

学生进入初中之后，与小学阶段的数学学习相比，通常会有几个地方容易出现一些不适应，具体来说，分布在不同年级，比如七年级上学期有理数的运算可算一处；然后是平面几何的入门阶段；再有就是函数的学习.刚进入初中所学的有理数运算为什么会让学生不适应呢？背后的情况很复杂，以有理数加法为例，有理数加法运算需要分很多类型，在准确识别类型之后，要有符号优先的意识，再恰当转化为与算术数有关的加或减的运算，而这些都可看成综合程度很高的较难题范围，所以有理数加法运算是很多学生进入初中后的第一道“坎”.

如何帮助学生迈过这道“坎”？不同的老师有不同的方法，多数老师的经验和做法是依据教材按部就班地讲解、训练、纠错、再练，以达到熟能生巧的程度.然而，我们认为，最初接触有理数加法法则时就有必要十分重视算理的教学，并且重视训练学生观察、识别、步步有据等良好的运算习惯，这样对于搞好运算教学都是非常有益的.以下再提出几点关于有理数加法法则的教学理解或教学建议.

1.从学生已有经验出发，依靠数轴这个平台探究并归纳加法法则

“最近发展区”理论是得到很多人认可的教育理论.结合有理数加法法则的引入，可以结合该理论设计教学情境，比如，学生在学习有理数加法法则之前，已有的学习经验是有理数及相关概念，这就包括了数轴、相反数、绝对值这三个十分重要的有理数相关概念.从数轴出发，研究有理数加法的不同情况，学生有个直观的平台进行分析，容易直接读出两个不同有理数的和，在此基础上，结合已有的“相反数和为0”的性质，更好地理解符号不同的两个数的和可以借助相反数的性质进行拆分、部分消去，从而得出解答.分组举例后，再结合绝对值（对应小学阶段的算术数）归纳出有理数加法法则.

2.重视算理教学，让学生在运算过程中养成“步步有据”的习惯

不少版本中关于有理数加法法则的情境引入，多属于猜想归纳出有理数加法法则，缺少必要的算理推导式的味道.基于这种不足，我觉得，虽然七年级新生还不能进行严格意义上的推理证出有理数加法法则，但是至少可以让学生在进入初中之后，初步感受到数学的严谨性.在上面的课例概述中，我就是借用数轴这个平台，变式举例，通过不同方法演算、推理出符号不同的两个数的加法法则，在这个过程中，反复利用了运算律进行推理式运算，这就向学生渗透了“步步有据”的运算意识.

3.促进学生明辨运算的两套系统：运算法则与运算通性

记得有的数学家（中科院李文林研究员）曾把数学简化为两个字：算与证.“算”的话题太大，就拿有理数运算来说，也是需要学生传递两套系统的依据，一是运算法则，二是运算通性.运算法则是刚性的，运算通性（运算律）是柔性的.前者针对不同的数系有不同的运算法则，而运算通性则游走在不同数系（包括以后整式的运算）之间，都是通用的.这些也可以在运算过程中向学生进行讲解、渗透，优秀学生是能体会出这些运算要点的，而且可以训练他们明辨“严守法则不出错”与“灵活选用运算律求简化”之间的辩证关系.