深度研究教材 聚焦设问理答*——以“多项式乘以多项式”为例

☉山东省广饶县教学研究室 魏相清

☉山东省广饶县稻庄镇实验中学 庞国建

“多项式乘以多项式”是人民教育出版社义务教育教科书八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解”的第一节第四部分“整式的乘法”第3课时的教学内容，作为整式乘法的最后一部分内容，它为后续学习整式的除法、乘法公式及因式分解打下了坚实的基础.在一次市级赛课活动中，笔者有幸设计并指导庞国建老师执教该课例，获得了听课评委和老师的一致好评，下面给出其教学实录并从研究教材和设问理答两个角度给出一些初步的思考，不当之处，敬请批评指正.

一、教学实录

1.情景导入，提出问题

师：同学们手中有四张大小不同的长方形纸片（如图1），你能用它们拼出一个大长方形吗？

图1

（学生1利用多媒体展示，其余学生动手操作）

师：拼得非常好.那么，你能用不同的方法表示出这个大长方形的面积吗？

生2：能，面积表示为（a+b）（p+q）.

生3：还可以表示为ap+aq+bp+bq.

师：这两个式子都表示大长方形的面积，它们之间有何关系？

生4：相等.

教师板书：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.

师：等号的左边是什么形式？

生5：两个多项式相乘.

师：对，这节课我们就来研究多项式与多项式相乘的法则（板书课题）.

设计意图：开课之初将教材提供的教学素材（街心花园的扩建）适当改编，以数学实验（动手拼图）的形式呈现，培养学生的动手能力，提高学生学习数学的积极性和主动性.此外，还引导学生在动手拼图过程中发现问题和提出问题，为后续分析问题和解决问题奠定基础，以期实现《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的从“两能”向“四能”的积极转变.

2.合作探究，归纳法则

师：你能通过计算来验证这个等式吗？应该如何计算（a+b）（p+q）？请同学们先独立思考，然后以小组为单位合作交流，探究结论.

（给学生留出适当时间，先让学生独立思考，然后以小组为单位合作交流，探究结论.）

师：前一节我们学习了什么内容？能不能前后联系一下？

生6：单项式乘以多项式.

师：是否可以把（a+b）（p+q）也看成单项式乘以多项式的形式呢？你有什么想法？

生7：可以把（a+b）看成一个整体，用（a+b）这个整体去乘以（p+q）这个多项式.

生8：也可以把（p+q）看成一个整体.

师：这两名同学说得非常好，大家掌声鼓励！下面，请根据刚才两名同学所提供的方法尝试计算.

生9板演展示：

生10板演展示：

=ap+aq+bp+bq

师：观察上面所得到的结果，你认为多项式乘以多项式，应该怎样相乘？谁能用简练的语言描述一下？

生11：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

师：你总结得太精彩了！语言叙述也非常简练，真棒！

设计意图：数学是一门严谨的学科，在前期动手操作、发现结论（几何直观的角度）的基础上，引导学生从代数运算的角度给出证明，进一步加深学生对新知的认识和理解，正所谓“数缺形时少直观，形缺数时难入微（华罗庚语）”，从而实现对数形结合思想的渗透.

3.问题导学，理解法则

师：请同学们利用法则完成例1.

例1 利用多项式乘法法则计算：

（1）（3x+1）（x+2）；

（2）（x-8y）（x-y）.

（学生独立完成，然后投影展示学生12和学生13的解题过程，师生共同订正错误）

师：请同学们完成跟踪训练1：计算（m+2n）（3n-m）.

（学生独立完成后，学生14口答结果）

师：同学们做得真棒！让我们再接再厉.

例2 利用多项式乘法法则计算：（x+y）（x2-xy+y2）.

（给学生留出适当的时间，让学生先独立完成，教师巡视指导并注意收集有错误的解题过程，比如：漏项的问题、运算符号出错的问题）

师：为了防止漏项，你能给我提供一个快捷的检查方法吗？

（学生交流讨论，寻找方法）

生15：在没有进行合并同类项前，积的项数等于这两个多项式项数的积.

师：大家同意这位同学的观点吗？

生16：同意！

师：那么，在多项式乘法运算中，我们应该注意哪些问题呢？

生17：要防止“漏项”.

生18：要注意先确定积中各项的符号.

生19：最后要合并同类项.

师：同学们总结得太棒了，为你们点赞！希望在接下来的做题过程中，同学们都能注意上面强调的三点.现在，请同学们完成跟踪训练：计算（x2+2x+3）（2x-5）.

（学生完成后，投影展示学生20的解题过程，同时强调前面提到的易错点）

设计意图：例题、习题设计层次合理，将教材中的例题进行分割，分为“只呈现项数为2的两个多项式相乘的例1”和“前一项项数为2，后一项项数为3的例2”两部分，降低了学生理解和应用公式的难度；跟踪训练设计巧妙，形式多样，进一步强化了学生对所学公式的运用.此外，教学中积极引导学生反思，自行发现易错点及处理方法，增强了学生的自主学习意识.

4.拓展延伸，提升素养

师：现在，让我们共同来看例3.

例3 利用多项式乘法法则计算：（a-1）2.

师：如（a-1）2这样的题，谁能写成两个多项式相乘的形式？

生21：可以写成（a-1）（a-1）的形式.

师：对，这样我们就可以用多项式乘法法则进行计算了.请同学们独立完成.

（学生完成后，投影展示学生22的解题过程，并共同纠错）

（学生独立完成后，学生23口答结果）

师：接下来让我们共同探究这样一个问题（课件展示例4）.

例4 计算与探究：

（1）（x+2）（x+3）；

（2）（x-4）（x+1）；

（3）（y-5）（y-3）.

（学生先独立完成，然后学生24口答结果，教师投影展示）

（1）（x+2）（x+3）=x2+5x+6.

（2）（x-4）（x+1）=x2-3x-4.

（3）（y-5）（y-3）=y2-8y+15.

师：观察所得的结果，你有什么发现？根据你发现的规律，完成下面的填空.

（x+p）（x+q）=x2+（ ）x+（ ）.

生25：二次项应该是x2，一次项的系数为p+q，常数项为p与q的积.

师：你太聪明了，我真佩服你！为你的聪明才智鼓掌！能利用你们发现的公式直接写出下列各题的结果吗？试一试！

（1）（x-6）（x-3）；

（2）（x+5）（x-8）.

（等学生完成后，学生26回答结果，师生共同订正）

设计意图：通过例3和跟踪训练3为学生后续学习完全平方公式打下基础；通过例4及相应的跟踪训练让学生自行发现规律，为接下来探究特殊的多项式乘法（平方差公式和完全平方公式）积累经验，同时与教材中阅读与思考部分（x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解，即十字相乘法）对应，实现课堂教学的思维连贯和逻辑清晰（章建跃语），同时是对《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的“不同的人在数学上得到不同的发展”的积极践行.

为节省篇幅，其余教学环节（达标检测、课堂小节、布置作业）略.

二、两点思考

1.研究教材：让教师出众

教材是教材编写者集体智慧的结晶.一线教师在使用教材时，应该实现和教材及教材编写者的心灵对话，深刻理解其编写意图，实现从“教教材”到“用教材教”的积极转变，从而促进自身的专业成长.

该课例在设计中做到了遵守教材，很好地应用了教材提供的教学素材（情境引入及例题、习题设置），同时在以下几个方面进行了创新尝试，且收到了较好的课堂教学效果：对教材的情境引入进行简单改编，以数学实验（学生动手拼图）的形式呈现；将教材提供的例题“一分为二”，分两部分呈现，由易到难；根据课堂教学时间和学生接受程度，将教材中的部分经典习题以例题的形式设置，提高一线教师和学生对习题的重视程度.

可以看出，上述课例在三个方面的创新，不仅仅是一线教师行动的改变，更是教学理念的更新，课例设计和研究是促进一线教师专业成长最有效的方式，只有在课例设计与研究中才能实现自身的专业出众.

2.设问理答：让学生出彩

设问和理答是一种教学手段，更是一种交流艺术.随着《中国学生发展核心素养》的提出，有专家学者指出“交流素养”也应该是中国学生发展核心素养的一部分，作为数学学科应该为培育学生的“交流素养”贡献自己的一份力量.上述课例中，教师设计问题多样、多变、多元，共引导30余名学生参与了课堂回答，教师积极地对学生的回答给出点评，比如，“这两名同学说得非常好，大家掌声鼓励！”“你总结得太精彩了！语言叙述也非常简练，真棒！”“你太聪明了，我真佩服你！为你的聪明才智鼓掌！”等，虽然还有待提高，但最起码向形式多样、语言丰富迈进了一步.

精心的设问能够帮助教师及时掌握学生的认识情况，而智慧的理答可以进一步提高学生的学习效果.精心的设问、智慧的理答，让学生真正参与到课堂教学中来，让学生的主体地位得到体现，让学生出彩.正如余文森教授在其著作《一位教育学教授的听课评课与教学断想》中指出：“真正的好课，不是教师出彩，而是学生出彩.简言之，出彩要出在学生的学上.”上述课例通过环环相扣的设问，层层推进的理答，对上述理念积极践行，取得了较好的教学效果.

当然，在教育转型的今天，一线教师应该站稳课堂教学这块主阵地，做到“把课堂还给学生”，这不是一句口号，而应该真正落实在行动上，欢迎更多的一线教师积极参与进来，为教育教学贡献自己的一份力量.