模型思想在初中数学“一次函数”教学中的应用研究

杨建新

[摘 要] 模型思想是培养学生数学能力的重要思想方法，也是高中数学新课程标准中明确提出的“十大核心概念”之一. 文中以一次函数部分的教学为例，对模型思想运用的几个步骤结合教学实践进行了论述.

[关键词] 模型思想；一次函数；数学教学

模型思想是培养学生数学能力的重要思想方法，也是数学新课程标准中明确提出的“十大核心概念”之一，是数学教学中不可忽视的重要思想方法. 从数学学科教学来看，整个初中阶段的数学学习就是学生建立模型、处理模型的过程，是培养学生数学思维的过程，因此，研究模型思想在数学学科教学中的使用，对于提高教学效果具有重要的意义.

模型思想概述

模型思想是人们运用数学概念和原理来描述现实世界的过程，是学生联系数学书本知识与现实生活的重要途径. 学生借助模型思想，能够运用数学知识来分析生活中遇到的问题，进而解决问题，从而提高学生对数学知识的应用能力.

一次函数部分知识概述

函数是初中数学的重要组成部分，通过函数的学习，学生掌握了变量之间的描述关系，是学生数学思维方式的一个重要的转折点，学生的思维开始由原来数字描述的数量关系向字母表示的数量关系进行转化，很多学生在这个过程中出现不适应的情况. 一次函数部分主要包含了一次函数的图像、一次函数的应用等知识，这是学生首次接触函数知识，更是学生今后学习反比例函数和二次函数的基础. 学生在解决数学问题的时候，首先要根据问题情境提取数量关系，然后构建数学模型，借助已知条件分析模型，进而求解，最后验证所求结果的合理性. 从本质上来看，这个过程就是一个数学模型构建的过程.

模型思想在一次函数部分教学的应用过程

教学过程是课堂教学的核心，是实现教学目标、突破教学重难点的主要途径，因此，模型思想的应用，重点要体现在课堂教学过程当中. 借助模型思想来进行一次函数部分的教学主要分为以下几个步骤：引出问题——进行假设——建立模型——求解模型——验证模型——应用模型，这对于提高数学课堂教学效果、提高学生的数学学习能力具有重要的意义.

1. 创设情境，引出问题，提出假设

在数学教学的课堂引入部分，就要围绕数学模型的思想來设置，借助生活实践情境，能够有效提高学生将生活问题抽象成数学问题的意识. 在设置问题的时候要遵循维果斯基的最近发展区理论，要适合这一阶段的学生，让他们能够“跳一跳，摸个桃”，这样才能够激发他们探究知识的兴趣，才能够帮助他们建立模型. 例如，在教学中，首先引导学生发现问题. 教师在弹簧的一端，竖直悬挂上质量不同的小球，学生观察悬挂小球的质量和弹簧长度之间的关系.

教师提出问题：同学们通过观察发现什么现象？造成这一现象的因素是什么？

学生回答：弹簧会变长，弹簧的长度与所挂物体的质量有关.

其次，引导进行假设.

教师提出问题：刚才老师手中的弹簧原长度是4厘米，每在一端挂1千克的重物，它的长度就会拉伸0.5厘米，如果我在一端挂上2千克的重物，它的长度能够达到多长？挂上3千克、4千克、5千克的重物，它的长度又会变成多少呢？

学生根据教师的提问进行解答.

教师继续提出问题：弹簧长度和所挂重物质量之间的关系是我们这节课所说的函数关系吗？你能够写出它们的关系式吗？

学生利用x，y写出它们的关系式：y=0.5x+4.

在这一环节的教学中，由于学生刚开始接触函数，我们就借助生活中最常见的生活实例，通过学生亲身体验弹簧长度和物质质量之间的关系，提高学生学习的积极性. 需要注意的是，在做出假设的过程中，要大胆放手，让学生围绕问题进行充分的讨论，对于那些不合理的假设，教师不要急于否定，让他们通过自身的思考和探究，去寻找正确的答案，这样才有利于提高学生的探究能力和创新能力.

2. 合作探究，强化思维，建立模型

在做出假设的基础上，建立模型，概括出变量之间的抽象关系，运用数学符号将它们加以概括，这个建立数学模型的过程就是渗透模型思想的关键所在. 初中阶段的函数主要涉及数量之间的动态变化，揭示事物的动态变化规律，学生学习起来存在一定的难度，借助函数模型，能够辅助学生的学习，让学生认识到函数知识与现实生活之间的关系. 一些造价问题、利润问题、投资问题都可以通过函数模型的方式得到顺利的解决.

通过第一环节的问题引入，学生对一次函数有了一定的了解，在这一环节中，让学生独立完成分析，培养其独立解决问题的能力.

例1 有一辆等待行驶的汽车，油箱中装有60 L的汽油，该汽车的油耗为12 L/100 km，请完成下表的填写.

请写出油耗与汽车行驶路程之间的关系，你还能写出剩余油量与汽车行驶路程之间的关系吗？请大家根据自己写出的函数关系式，考虑一下自变量的取值问题.

例2 请大家观察下列关系式，看看它们都有什么共同点？

y=1.8x+7；z=80-0.75x.

学生回答：都含有一个未知数，并且x的指数为1，每个等式中都含有两个变量.

教师总结：如果两个变量x，y之间的关系，可以用y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式表示，就可以说y是x的一次函数.

3. 求解模型，巩固知识，验证模型

模型确定以后就需要对它进行求解，这个过程中，对于方程模型就需要借助等式的相关知识进行求解；对于不等式模型就借助不等式的部分知识进行求解；对于几何模型就借助三角形与图形的相关知识进行求解；对于函数模型则需要利用方程的相关知识来求解. 有些涉及现实生活问题的函数问题，在求解完模型以后，还需要代入生活实践进行验证. 如果验证的结果合理，那么所求的结果就是正确的，如果验证的结果不合理，那么所求出的结果就是错误的，学生需要返回问题的原点，重新进行分析、建模、求解.

对于该部分的教学过程，教师要给予关心和耐心，引导学生正视自己的错误，这样才有助于学生良好数学思维方式的培养，有助于学生的长足发展. 例如，在例1的思考中，涉及汽车行驶的实际问题时，需要注意的是汽车油箱总共还有60 L油，最多就能跑500 km，再远就跑不动了，同学们就可以借助这一点对模型进行验证，检查自己的思路是否正确.

4. 应用模型

在借助模型思想进行一次函数的教学时，不要以为验证完模型就可以了，还要组织学生做好反思，将模型的思想内化到自己的解题思维当中. 中考对于数学知识的考查更加偏向于综合性，教师仅抓住某个知识点对学生进行讲授已经不能满足要求. 借助一定的数学问题，给学生渗透数学思想，提高学生的数学能力，才是新课改背景下数学课堂教学的要求. 在巩固新知环节的教学中，教师就可以引入相关的练习题，帮助学生内化模型思想.

例3 根据下列问题写出相对应的关系式.

（1）一艘轮船以80 km/h的速度行驶，请写出它的行驶时间x与行驶路程y之间的关系式.

（2）请写出圆的面积y与它的半径x之间的关系式.

（3）泳池中有25立方米的水，因需要换水打开出水管，出水管的水流速度为7立方米每小时，那么x小时后，水池中还剩余y立方米水. 请写出它们之间的关系式.

小结

模型思想是初中数学解题的重要思想，它能够帮助学生分析复杂问题，理清解题思路，完成求解. 尤其是在一次函数的教学中，学生的思维开始由原来数字描述的数量关系向字母表示的数量关系进行转化，很多学生在这个过程中出现不适应的情况. 借助模型思想，就能够帮助学生建立科学的分析问题和解决问题的方法，养成科学的数学思维，提高学生在一次函数部分学习的效率.