借助数学表象 架起思维桥梁

顾玉华

摘 要：促进学生的思维发展是数学教学的主要目标。数学表象是促进学生思维发展的有效桥梁，在小学数学教学中，教师要善于借助直观表象、经验表象、操作表象帮助学生点燃数学思维、激活数学思维、推进数学思维、深化数学思维。

关键词：数学表象；数学思维；桥梁

在小学数学教学中，促进学生数学思维的发展是重要的教学目标之一。现在，一些教师在小学数学教学中，一般都会通过一定数量的直观事物供学生观察，并在此基础上引导学生学习。但是，学生在这种方式中并不能对数学知识进行透彻理解，也不能够进行高效化的思维。其实，在这个过程中，学生在感性认识和概括知识之间，以及概括到应用之间都没有形成良好的过渡，主要的原因是没有形成数学表象，所以在思维上就出现了断层，导致无法进行有效的数学思考和抽象。人们在进行数学抽象思维时，都是以感性认识为前提，通过表象进行过渡，然后以自己的知识基础和表达来完成。因此，教学中教师要丰富学生的数学表象，为学生架起数学思维的桥梁。

一、借助直观表象，点燃数学思维

利用直观的事物来引起学生的感性认识，能有效地引入新知的学习，假如不能从感性转化为抽象思维，就无法抽象和概括出抽象的数学新知。为了让学生能跳出具体的事物，把感性思维过渡到抽象思维上，就需要帮他们建立表象。不过表象来源于对事物的感知，只有强化对事物的认知，才能建立起正确有效的表象，以升华学生的感性认识，点燃他们的数学思维。

例如，在“认识厘米”一课的教學中，教师就设计了如下三方面的感知内容，以便学生对1厘米形成准确的表象：（1）首先对1厘米进行初步认识，教师问：“你们知道尺子上多少表示1厘米吗？”有学生就回答自己以前就知道尺子上0到1这一段就是1厘米，对此教师进行了表扬并让学生利用手中的尺子感受一下1厘米的长度。（2）教师对1厘米的概念进行总结，让学生根据刚才的认识在尺子上找出还有没有其他的1厘米，以帮助学生理解尺子上两个相邻的数之间都表示1厘米的长度。（3）让学生对1厘米有多长进行比画，先让学生对前面观察尺子上1厘米的长度进行回想，然后自己把1厘米的长度比划出来。

以上案例中，正是因为教师引导学生在直观表象的基础进行数学抽象，点燃了学生的数学思维，因此，学生能够对“厘米”这一概念进行深入把握，从而达到了高效的教学效果。

二、借助经验表象，激活数学思维

由于儿童的思维主要是依靠直观感性的认识来形成的，所以在建立表象时需要依靠学生的生活经验为基础，以支撑其思维，保证思维的顺畅性。而在实际教学时，学生常会因为没有及时唤醒脑海中与所学知识相关的表象，难以有效地对题目进行解答。这就给教师传达出这样的信号：要让学生在正确、丰富的感知中建立思维表象。教师应为学生建立有效的第一印象，以便学生在感知的基础上建立起数学表象，然后从中归纳、概括、抽象出数学概念以建立数学模型。一些经验丰富的教师就会让学生在对事物充分感知的基础上，对所见的事物进行冥想，通过隐去事物的方式在学生脑海中建立表象，以此激活学生的数学思维。

例如，一位教师在教学“长方体和正方体的认识”一课时，围绕如下环节展开。

“看”，为学生提供实物进行观察，如在讲题和做题中给学生展示相应的实物。

“拆”，引导学生沿长方体纸盒的棱进行裁剪，并展开为一平面图形，观察是什么形状，从而帮助学生建立起展开前后各面对应的位置关系。

“做”，组织学生利用卡纸制作出底面是正方形的长方体、长宽高各不相同的长方体、长宽高均相等的长方体。

“画”，引导学生先对桌上的长方体进行观察，看从一个角度能看到几个面，然后边观察边画出其立体图，同时绘制前面拆得的展开图。在今后的习题中，要求学生画出图来进行分析，从而使表象更加清晰。

以上教学片段中，教师在引导学生建立数学表象时首先确保了表象的典型性，然后以学生的知识经验为基础，与学生相关的材料为感知对象，确保学生有基础对新知进行同化，推动学生有效地构建起概念表象，最后鼓励学生调动各个感官积极参与实践活动，以有效地构建表象。学生在对事物进行感知后，就能在脑海中留下深刻的心理表象，从而产生记忆。对于这些记忆中的表象，教师应采取合理的方式来增加学生的记忆表象内容，以便学生在后续的思维活动中有更多的表象基础。

三、借助操作表象，推进数学思维

教师常常会组织学生进行动手实践来学习，学生在实践中虽然能有效地感知所学内容，但很可能出现学生遇到问题时，缺少了操作环境的辅助，不知道该如何下手。究其根源就是因为学生没有深刻地认识到操作中所要研究的问题，没有建立有效的表象。为此，就必须通过教师的适当引导来让学生再次加工脑海中形成的表象，以此推进学生的数学思维。

例如，在教学“平行四边形的认识”这一课时，一些教师一般都会把平行四边形和长方形进行联系，而学生在学习时往往不能准确地表达有关概念。为此，需要利用学生建立的表象来对学生对问题的认识进行深化。一位教师在教学中，出示了一张方格图，并在其上绘制了一个平行四边形，然后鼓励学生以想象的方式来对这个平行四边形进行转化，形成一个长方形，以搭建起平行四边形和长方形之间的有效链接。在这个基础上，教师又拿出一张画有平行四边形的不带方格的图，学生就会在已经形成的表象的帮助下，建立起平行四边形的底、高和长方形的长、宽之间的对应关系。

以上教学中，教师通过让学生从实物转化的角度来建立表象，并要求学生对所学对象进行数学表达。这样就能把操作和思维活动结合在一起，共同为思维的深化发挥重要作用。

四、借助问题表象，深化数学思维

虽然教师帮助学生积累起丰富的表象资源，但很多学生不能从积累的表象中及时提取出与问题相关的表象，常常会出现不知所措的现象。对于这样的情况，教师应推动学生对自身的表象认知进行激活，要借助问题表象把抽象的符号和模型等表象内容转化为直观的形象，以此深化学生的数学思维。

例如，学生对周长和面积的相关知识进行学习以后，基本上都能熟练地掌握不同图形的周长和面积计算公式，但却不能把所掌握的公式准确无误地用于题目的求解中。因为学生所遇到的题目，基本上都是与生活相关的，并没有直接在问题中提到要求解其周长或面积，对于这一情况，就要让学生对已有的周长和面积的表象进行回顾。有这样一个实际问题：“有一张边长为80厘米的方桌，要做一块与桌面大小相同的玻璃放在上面，那么需要多大的玻璃？如果还要用不锈钢边框来给玻璃镶边，那么不锈钢条应准备多长？”学生在读完这道题后，很多人都不能把“玻璃大小”转化为“桌面面积”，也不能把“不锈钢条的长度”转化为“桌面周长”。为此就需要教师激发学生想象，引导学生：“玻璃的大小指的是什么，它的边又指哪儿，在脑海里想象这块玻璃，并试着用手去摸摸看。”于是学生就能通过想象对周长和面积进行回顾，激活学生学习知识中建立的表象，从而理解问题里所说的“玻璃大小”就是其面积，直接用“边长×边长”求出，“不锈钢条的长度”就指玻璃四条边的长度和，用“边长×4”进行计算。

以上案例中，虽然学生能牢固地掌握相关周长和面积的计算公式和表象，但遇到与生活相关的实际问题，却不能把建立起的抽象模型有效地应用到解题中。通过教师的点拨，学生才唤醒了已有的周长和面积的表象，进而在感性和抽象思维之间自由地穿梭，有效掌握所学知识。

总之，通过对形成的感觉和知觉进行处理，就能形成表象，从而搭建起感性思维与理性思维之间的桥梁。所以，教师应积极地把表象应用于数学教学中，让学生能顺利地实现直观形象到抽象概括的转化，以提高思维能力，实现高效学习。